Suites numériques : approfondissement

Suites numériques : approfondissement

1. Définition et modes de génération

Une suite $(u_n)$ est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou $\mathbb{N}^*$) dans $\mathbb{R}$. Deux modes principaux :

• Explicite : $u_n = f(n)$, ex. $u_n = 3n+2$.
• Récurrente : $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0$ donné, ex. $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+50$.

Le mode récurrent modélise très bien les systèmes bouclés : évolution d'un stock, d'une population, d'un compte bancaire ou d'un signal échantillonné.

2. Suites arithmétiques

$u_{n+1}=u_n+r$ (raison $r$). Forme explicite : $u_n = u_0 + n r$

Somme des termes. $S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k = (n+1)\cdot\dfrac{u_0+u_n}{2}$.

Exemple. Un opérateur ajoute 15 pièces par heure à un stock initial de 40. Après 8 h : $u_8=40+8\times 15=160$ pièces.

3. Suites géométriques

$u_{n+1}=q\,u_n$ (raison $q$). Forme explicite : $u_n = u_0 \cdot q^n$

Comportement.

• $|q|>1$ : divergence exponentielle.
• $|q|<1$ : convergence vers 0.
• $q=1$ : suite constante ; $q=-1$ : alternée.

Somme. Pour $q\ne 1$ : $\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exemple financier. Livret à 3 % annuel, dépôt initial 1 000 € : $u_n=1000\times 1{,}03^n$. Au bout de 10 ans : $u_{10}\approx 1\,344$ €.

4. Suites arithmético-géométriques

Forme $u_{n+1}=a\,u_n+b$ (fréquentes en STI2D pour modéliser un régulateur, un remplissage, un décroissement avec apport).

Méthode. Chercher le point fixe $\ell$ tel que $\ell = a\ell+b$, soit $\ell = b/(1-a)$ si $a\ne 1$. Alors $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ : $u_n = \ell + (u_0-\ell)\cdot a^n$

Exemple. Cuve avec évaporation 10 %/jour et remplissage 50 L/jour : $u_{n+1}=0{,}9\,u_n+50$. Point fixe $\ell=50/0{,}1=500$ L. Départ à $u_0=100$ L : $u_n=500-400\times 0{,}9^n$. La cuve tend vers 500 L.

5. Sens de variation et convergence

• $(u_n)$ croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$.
• Majorée par $M$ si $u_n\le M$ ; minorée par $m$ si $u_n\ge m$ ; bornée si les deux.
• Théorème (admis) : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Si $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ est un point fixe : $\ell = f(\ell)$.

6. Algorithmique associée

En Python :

u = u0
for n in range(N):
    u = a*u + b
print(u)

Utilisé pour :

• Simuler un asservissement discret (régulation TOR ou PID échantillonné).
• Calculer un seuil (ex. le plus petit $n$ tel que $u_n>1000$) via une boucle while.
• Étudier expérimentalement une convergence (afficher les 100 premiers termes).

7. Applications STI2D

• Population, stock, cuve : arithmético-géométrique.
• Amortissement d'un crédit : $C_{n+1}=(1+t)C_n - m$ où $m$ est la mensualité.
• Filtre numérique du 1er ordre : $y_{n+1}=\alpha y_n + (1-\alpha)x_n$ (moyenne mobile exponentielle), utilisé pour lisser un signal capteur bruité. $\alpha$ proche de 1 = lissage fort, réponse lente.
• Fibonacci : $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, présent en optimisation et biologie.

À retenir

• Arithmétique : $+r$ ; géométrique : $\times q$.
• Arithmético-géométrique : trouver le point fixe, retrancher, se ramener à géométrique.
• Point fixe = valeur limite si la suite converge.
• Une boucle Python transcrit directement une relation de récurrence.