Fonctions trigonométriques et signaux

Fonctions trigonométriques et signaux — cours

Définitions. Pour un angle $\theta$ (rad), sur le cercle trigonométrique : $\cos\theta$ = abscisse, $\sin\theta$ = ordonnée, $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$. Valeurs remarquables : $\sin 0=0$, $\sin(\pi/6)=1/2$, $\sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2$, $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$, $\sin(\pi/2)=1$.

Périodicité. $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques ; $\tan$ est $\pi$-périodique. $\cos$ est paire, $\sin$ est impaire. Formules clés : $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ ; $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ ; $\cos(2a)=1-2\sin^2 a=2\cos^2 a-1$.

Signal sinusoïdal. $s(t)=S_m\sin(\omega t+\varphi)$ avec amplitude $S_m$, pulsation $\omega=2\pi f$ (rad/s), fréquence $f=1/T$ (Hz), période $T$ (s), phase à l'origine $\varphi$ (rad). Le secteur français : $f=50$ Hz, $T=20$ ms, $U_{\text{eff}}=230$ V donc $U_m=230\sqrt{2}\approx 325$ V.

Valeur efficace. $S_{\text{eff}}=S_m/\sqrt{2}$ pour un sinus pur. C'est la valeur DC qui dissiperait la même puissance dans une résistance. Les multimètres AC affichent $S_{\text{eff}}$ (True RMS pour signaux non sinusoïdaux).

Déphasage. Entre $u(t)=U_m\sin(\omega t)$ et $i(t)=I_m\sin(\omega t-\varphi)$, $\varphi$ est le déphasage courant/tension : positif $\to$ charge inductive (moteur), négatif $\to$ capacitive. $\cos\varphi$ = facteur de puissance (voir chapitre énergie).

Somme de sinus de même fréquence. $A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)=C\sin(\omega t+\psi)$ avec $C=\sqrt{A^2+B^2}$ et $\tan\psi=B/A$ : outil de base pour composer des tensions en régime alternatif.

Représentation vectorielle (Fresnel). Chaque sinusoïde $\leftrightarrow$ vecteur tournant. On additionne les tensions comme des vecteurs, ce qui simplifie l'étude d'un circuit RLC série.

Applications 2I2D. Modulation d'amplitude, courant alternatif, ondes sonores, vibrations mécaniques, servomoteurs, signaux PWM (analyse de Fourier).

À retenir. Un sinus se caractérise par $(S_m, f, \varphi)$ ; sa valeur efficace divise l'amplitude par $\sqrt 2$ ; toute somme de sinus de même $f$ reste un sinus de même $f$.