Exponentielle et phénomènes transitoires

Exponentielle et phénomènes transitoires

La fonction exponentielle décrit tous les régimes transitoires du 1ᵉʳ ordre : charge d'un condensateur, refroidissement, atténuation d'un signal, décroissance radioactive.

1. Rappels sur la fonction exponentielle

• $\exp'(x) = \exp(x)$, $\exp(0)=1$.
• $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$ ; $\int e^{ax}dx = \dfrac{1}{a}e^{ax}$.
• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$ ; $\ln(e^x)=x$ ; $e^{\ln x}=x$ ($x>0$).
• Limite : $\lim_{x\to +\infty} e^{-x} = 0$.

2. Équation différentielle du 1ᵉʳ ordre

$\tau\,y'(t) + y(t) = E$

Solution : $y(t) = E + (y_0 - E)\,e^{-t/\tau}$.

• $y_0$ : valeur à $t=0$.
• $E$ : valeur finale (régime permanent).
• $\tau$ : constante de temps (unité de temps, s).

3. Interprétation de $\tau$

À $t=\tau$, l'écart $|y-E|$ a été divisé par $e \approx 2{,}72$, soit 63 % de la variation totale déjà effectuée. En pratique :

$t$	Progression
$1\tau$	63 %
$2\tau$	86 %
$3\tau$	95 %
$5\tau$	99,3 % (régime permanent)

4. Exemples physiques

Circuit RC en charge ($u_C(0)=0$, tension d'alim $E$) :

$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = RC$

Pour $R=10\,\text{k}\Omega$ et $C=100\,\mu\text{F}$ : $\tau = 1\,$s. Charge quasi totale après 5 s.

Refroidissement (loi de Newton) :

$T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})\,e^{-t/\tau}$

Décroissance radioactive : $N(t)=N_0 e^{-\lambda t}$, demi-vie $T_{1/2}=\ln 2 / \lambda$.

5. Décibels et atténuation

Un câble atténue un signal selon $P(x)=P_0 e^{-\alpha x}$. L'atténuation en dB par km facilite les calculs. Fibre optique : ~0,2 dB/km à 1550 nm.

6. Méthode de résolution au bac

1. Écrire l'équation différentielle avec les grandeurs physiques.
2. Identifier $\tau$ et la valeur finale $E$.
3. Utiliser $y(0)$ pour trouver la constante.
4. Écrire $y(t) = E + (y_0 - E) e^{-t/\tau}$.
5. Calculer la valeur à un instant donné ou le temps pour atteindre un seuil.

À retenir

• Constante de temps $\tau$ = temps caractéristique ; régime permanent après $\sim 5\tau$.
• Toute équation $\tau y' + y = E$ a une solution en $E + (y_0-E)e^{-t/\tau}$.
• La demi-vie ($e^{-\lambda t} = 1/2$) vaut $\ln 2 / \lambda \approx 0{,}693/\lambda$.
• Comparer $\tau$ à la durée d'observation permet de savoir si le régime est établi ou non.