Fonctions exponentielle et logarithme

Fonctions exponentielle et logarithme

1. Fonction exponentielle

La fonction $\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1$. On note $\exp(x)=e^x$ avec $e\approx 2{,}718$.

Propriétés algébriques.

• $e^{a+b}=e^a e^b$
• $e^{-a}=1/e^a$
• $(e^a)^n=e^{na}$
• $e^a=e^b \Leftrightarrow a=b$
• $e^x>0$ pour tout $x$, strictement croissante.

Limites. $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$. Croissance comparée : $e^x/x^n\to+\infty$.

Dérivée composée. $(e^{u(x)})'=u'(x) e^{u(x)}$.

2. Fonction logarithme népérien

$\ln$ est la réciproque de $\exp$ : $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$. Définie sur $]0,+\infty[$, dérivée $\ln'(x)=1/x$.

Propriétés.

• $\ln(ab)=\ln a+\ln b$
• $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$
• $\ln(a^n)=n\ln a$
• $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$.

Limites : $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ (mais $\ln x/x\to 0$).

3. Logarithme décimal

$\log(x)=\ln(x)/\ln(10)$, réciproque de $10^x$. Utilisé pour :

• pH : $pH=-\log[H_3O^+]$.
• Décibels : $L=10\log(P/P_0)$.
• Magnitude sismique : échelle de Richter en $\log$.

Chaque unité de $\log$ correspond à un facteur 10.

4. Résolution d'équations

• $e^x=k$ ($k>0$) $\Leftrightarrow x=\ln k$.
• $\ln x = k \Leftrightarrow x = e^k$.
• $a^x = b$ ($a>0$) $\Leftrightarrow x=\ln b/\ln a$.

Exemple. Un capital placé à 3 % par an double quand $1{,}03^n=2$ soit $n=\ln 2/\ln 1{,}03 \approx 23{,}5$ ans (règle des 72 : $72/3=24$).

5. Croissance et décroissance exponentielles

Modèle continu : $N(t)=N_0 e^{kt}$.

• $k>0$ : croissance (population, capital composé continu).
• $k<0$ : décroissance (radioactivité, décharge d'un condensateur, refroidissement Newton).

Demi-vie / temps caractéristique. Pour $N(t)=N_0 e^{-t/\tau}$ :

• $\tau$ = temps caractéristique, à $t=\tau$ il reste 37 % de $N_0$.
• $t_{1/2}=\tau\ln 2$ : temps pour tomber à 50 %.

Exemple radioactivité. Iode-131 : $t_{1/2}=8$ jours. Après 24 jours (3 périodes), il reste $(1/2)^3=1/8=12{,}5$ %.

Exemple électronique. Charge d'un condensateur RC : $u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau=RC$. Pour $R=1\,\text{k}\Omega$ et $C=100\,\mu\text{F}$ : $\tau=0{,}1$ s. À $5\tau=0{,}5$ s, la charge atteint 99 %.

6. Décibels : cas concret

Un ampli délivre 100 W à partir de 1 W en entrée : $G=10\log(100/1)=20\ \text{dB}$

Le seuil de la douleur (120 dB) correspond à $I=I_0\cdot 10^{12}=1\ \text{W/m}^2$.

7. Représentations graphiques

• Courbe $e^x$ : croissance très rapide, passe par $(0,1)$ et $(1,e)$.
• Courbe $\ln x$ : croissance très lente, passe par $(1,0)$ et $(e,1)$.
• Symétriques par rapport à la droite $y=x$.

À retenir

• $\ln$ et $\exp$ sont réciproques : elles transforment produits en sommes et vice versa.
• $e^{u}$ se dérive en $u'e^u$ ; $\ln u$ en $u'/u$.
• Le temps caractéristique $\tau$ apparaît dans tout système du premier ordre.
• Décibels et pH sont des applications du $\log$ décimal.