Dérivation et signaux

Dérivation et signaux — cours

Définition. La dérivée $f'(x)$ d'une fonction $f$ mesure sa vitesse de variation instantanée au point $x$ : $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Géométriquement, $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente en $x_0$.

Interprétation physique. Si $x(t)$ est une position (m) alors $v(t)=x'(t)$ est la vitesse (m/s) et $a(t)=v'(t)=x''(t)$ l'accélération (m/s²). Si $q(t)$ est la charge (C), $i(t)=q'(t)$ est l'intensité (A). Si $W(t)$ est un travail (J), $P(t)=W'(t)$ est la puissance (W).

Formules à connaître.

• $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})'=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\ln x)'=\tfrac{1}{x}$, $(e^{ax})'=a\,e^{ax}$.
• $(\sin(\omega t+\varphi))'=\omega\cos(\omega t+\varphi)$, $(\cos(\omega t+\varphi))'=-\omega\sin(\omega t+\varphi)$.
• Somme : $(u+v)'=u'+v'$. Produit : $(uv)'=u'v+uv'$. Quotient : $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$. Composée : $(g\circ u)'=u'\cdot g'(u)$.

Signaux périodiques. Pour $u(t)=U_m\sin(\omega t)$, la dérivée $u'(t)=U_m\omega\cos(\omega t)$ est déphasée de $+\pi/2$ et son amplitude est multipliée par $\omega=2\pi f$. En électronique, un dérivateur (circuit RC en montage inverseur) réalise $s(t)=-RC\,\dfrac{du_e}{dt}$ : plus la fréquence est haute, plus la sortie est grande. Un capteur inductif délivre $e=-L\,\tfrac{di}{dt}$ (loi de Lenz-Faraday).

Étude de variations. Le signe de $f'$ donne le sens de variation : $f'>0 \Rightarrow f$ croissante, $f'<0 \Rightarrow f$ décroissante, $f'(x_0)=0$ avec changement de signe $\Rightarrow$ extremum local. Utilisé pour dimensionner un système (recherche du rendement maximal, du pic de contrainte, etc.).

Exemple. Un chariot suit $x(t)=0{,}5\,t^2$ (m). Alors $v(t)=t$ m/s et $a(t)=1$ m/s² : mouvement uniformément accéléré. À $t=3$ s, $v=3$ m/s.

À retenir. Dériver, c'est passer d'une grandeur cumulée à un débit ; la dérivation amplifie les hautes fréquences et déphase les sinusoïdes de $\pi/2$.