Intégration et primitives

Intégration et primitives

1. Notion de primitive

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si $F$ et $G$ sont primitives de $f$, alors $G(x)=F(x)+k$.

Notation : $\int f(x)\,dx = F(x)+C$.

2. Table des primitives usuelles

$f(x)$	Primitive $F(x)$	Domaine
$x^n$ ($n\ne -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$)
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x
$e^{ax}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax}$	$\mathbb{R}$
$\cos(\omega t)$	$\dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t)$	$\mathbb{R}$
$\sin(\omega t)$	$-\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega t)$	$\mathbb{R}$
$u'(x)\,u(x)^n$	$\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}$	selon $u$
$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$	$\ln	u(x)

Linéarité. $\int (a f + b g) = a\int f + b\int g$.

3. Intégrale définie

Si $F$ est une primitive de $f$ continue sur $[a,b]$ : $\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)$

Interprétation géométrique : aire algébrique entre la courbe et l'axe $Ox$ (positive au-dessus, négative en dessous).

Propriétés.

• Chasles : $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$.
• Positivité : si $f \ge 0$ sur $[a,b]$, $\int_a^b f \ge 0$.
• Comparaison : si $f \le g$, $\int_a^b f \le \int_a^b g$.
• Valeur moyenne : $\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

4. Exemples concrets STI2D

Distance parcourue. Un véhicule a la vitesse $v(t)=2t+3$ (m/s) entre $t=0$ et $t=10$ s : $d = \int_0^{10}(2t+3)\,dt = [t^2+3t]_0^{10}=100+30=130\ \text{m}$

Énergie électrique consommée. Puissance $P(t)=100+50\sin(\omega t)$ W sur $T=10$ s (moyenne = 100 W car $\int \sin =0$) : $E = \int_0^{10} P(t)\,dt = 100\times 10 = 1000\ \text{J}$

Quantité de charge. $q = \int_0^t i(u)\,du$ ; si $i=2$ A pendant 5 s, $q=10$ C.

Volume d'eau. Débit $Q(t)=0{,}5\,e^{-0{,}1 t}$ L/s. Volume écoulé sur 20 s : $V=\int_0^{20}0{,}5 e^{-0{,}1 t}\,dt = 0{,}5\times\dfrac{-1}{0{,}1}[e^{-0{,}1 t}]_0^{20}=5(1-e^{-2})\approx 4{,}32\ \text{L}$

5. Valeur efficace

Pour un signal périodique $u(t)$ de période $T$ : $U_{eff} = \sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T u(t)^2\,dt}$

Pour un signal sinusoïdal $u(t)=U_{max}\sin(\omega t)$ : $U_{eff}=U_{max}/\sqrt 2$. Le secteur 230 V est une valeur efficace ; l'amplitude atteint 325 V.

6. Méthodes numériques

Lorsque la primitive n'a pas d'expression simple, on approche l'intégrale :

• Méthode des rectangles : $\int_a^b f \approx h\sum f(x_i)$ avec $h=(b-a)/n$.
• Méthode des trapèzes : $\int_a^b f \approx \dfrac{h}{2}\big(f(a)+2\sum f(x_i)+f(b)\big)$. Précision d'ordre 2.
• Utilisées dans les acquisitions capteurs (Arduino, oscilloscope) pour intégrer numériquement un courant ou une accélération.

À retenir

• Primitive = anti-dérivée, définie à une constante près.
• $\int_a^b f = F(b)-F(a)$.
• Intégrer une vitesse → distance ; une puissance → énergie ; un courant → charge ; une accélération → vitesse.
• La valeur efficace fait intervenir $f^2$, pas $f$.