Logarithme décimal et décibels

Logarithme décimal et décibels — cours

Logarithme décimal. $\log_{10}(x)$ est défini pour $x>0$ par $\log(10^n)=n$. Propriétés : $\log(ab)=\log a+\log b$, $\log(a/b)=\log a-\log b$, $\log(a^n)=n\log a$, $\log(1)=0$, $\log(10)=1$. Dérivée : $(\log x)'=\dfrac{1}{x\ln 10}$.

Pourquoi le log ? Il compresse des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur (son, tension, puissance, pH, tremblements de terre) et transforme les produits en sommes — idéal pour cascades d'étages d'amplification.

Décibels — puissance. Le gain en dB d'un rapport de puissances est $G_{\text{dB}}=10\log_{10}(P_s/P_e)$. +3 dB $\approx$ ×2 en puissance, +10 dB = ×10, +20 dB = ×100. Un ampli de gain $10^4$ vaut 40 dB.

Décibels — tension/amplitude. Comme $P\propto U^2$, on écrit $G_{\text{dB}}=20\log_{10}(U_s/U_e)$. +6 dB $\approx$ ×2 en tension, +20 dB = ×10.

Cascades. Les gains en dB s'additionnent : préampli 20 dB + ampli 30 dB $\to$ 50 dB total, soit ×100 000 en puissance. Une atténuation vaut un dB négatif.

Acoustique. Le niveau sonore vaut $L=10\log_{10}(I/I_0)$ dB avec $I_0=10^{-12}$ W/m². Conversation $\approx$ 60 dB, seuil de douleur 120 dB. Le code du travail (art. R.4431-2) impose des EPI dès 85 dB(A) sur 8 h et une action à 80 dB(A).

Bode. Un diagramme de Bode trace le gain en dB en fonction de $\log(f)$ : les filtres du premier ordre y apparaissent comme des droites à ±20 dB/décade, ce qui simplifie l'analyse fréquentielle des chaînes d'acquisition.

Exemple. Un capteur délivre 10 mV, l'ADC attend 1 V pleine échelle. Gain requis : $20\log(1/0{,}01)=40$ dB, soit ×100.

À retenir. $\log$ transforme les produits en sommes ; +3 dB = ×2 en puissance ; +6 dB = ×2 en tension ; les dB s'ajoutent en cascade.