Statistiques pour l'ingénieur

Statistiques pour l'ingénieur — cours

Vocabulaire. Population, échantillon, caractère qualitatif ou quantitatif (discret / continu).

Position. Moyenne $\bar x=\tfrac{1}{n}\sum x_i$ (ou pondérée $\bar x=\tfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$) ; médiane (robuste) ; mode.

Dispersion. Étendue max−min ; variance $V=\tfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar x)^2$, écart-type $\sigma=\sqrt V$ ; coefficient de variation CV = $\sigma/\bar x$ ; écart interquartile $Q_3-Q_1$ (boîte à moustaches).

Loi normale $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$. Distribution en cloche autour de $\mu$. Règle 68-95-99,7 : $[\mu\pm\sigma]$ = 68 %, $[\mu\pm 2\sigma]$ = 95 %, $[\mu\pm 3\sigma]$ = 99,7 %. Modélise mesures physiques, cotes usinées, tensions d'alim.

MSP — maîtrise statistique des procédés. Carte de contrôle : $\bar x$ et étendue $R$ par échantillon. Limites $\text{LSC}=\mu+3\sigma$, $\text{LIC}=\mu-3\sigma$. Capabilité $C_p=\dfrac{\text{IT}}{6\sigma}$ (IT = intervalle de tolérance) ; $C_p\ge 1{,}33$ = procédé apte ; $C_{pk}$ intègre le centrage. Approche 6-sigma : $C_p\ge 2$, soit ≈ 3,4 défauts par million.

Intervalle de confiance. Pour $n\ge 30$ : $\text{IC}_{95\%}(\mu)=[\bar x\pm 1{,}96\,\sigma/\sqrt n]$. Ex. 100 pièces, $\bar d=10{,}02$ mm, $\sigma=0{,}05$ : IC ≈ [10,01 ; 10,03] mm.

Régression linéaire. $y=ax+b$ ajusté à un nuage : $a=\text{cov}(x,y)/V(x)$ ; coefficient de corrélation $r\in[-1,1]$. $r^2>0{,}9$ = corrélation forte (étalonnage capteur, courbes de tendance).

À retenir. Moyenne + écart-type décrivent une population gaussienne ; MSP surveille la qualité ; $C_p\ge 1{,}33$ = seuil industriel courant.