Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance

1. Probabilité conditionnelle

Étant donné deux événements $A$ et $B$ d'un même univers avec $P(B)>0$, la probabilité de $A$ sachant $B$ est : $P_B(A)=P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Interprétation : on restreint l'univers aux issues où $B$ est réalisé, puis on mesure la part qui vérifie aussi $A$.

Formule des probabilités composées : $P(A\cap B)=P(B)\times P(A|B)=P(A)\times P(B|A)$.

2. Arbre pondéré

Un arbre représente les probabilités successives : chaque branche porte la probabilité conditionnelle sachant le nœud parent. Règles :

• Somme des branches issues d'un même nœud = 1.
• Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin.
• Probabilité d'un événement = somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Exemple industriel. Une chaîne produit des cartes électroniques via deux machines :

• Machine A : 60 % de la production, 2 % de défauts.
• Machine B : 40 % de la production, 5 % de défauts.

Probabilité qu'une carte tirée au hasard soit défectueuse : $P(D)=0{,}6\times 0{,}02+0{,}4\times 0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032=3{,}2\%$

3. Formule des probabilités totales

Si $\{B_1,\dots,B_n\}$ forme une partition de l'univers (événements incompatibles couvrant tous les cas), alors : $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)=\sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A|B_i)$

Utilisée dès qu'on classe une population en sous-groupes (machines, lots, tranches d'âge, capteurs).

4. Formule de Bayes (inversion)

$P(B|A)=\dfrac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

Répond à la question inverse : « sachant l'effet, quelle cause ? »

Exemple. Une carte défectueuse est prélevée. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine B ? $P(B|D)=\dfrac{0{,}4\times 0{,}05}{0{,}032}=\dfrac{0{,}020}{0{,}032}\approx 0{,}625=62{,}5\%$

Bien que B ne produise que 40 % des cartes, elle est responsable de la majorité des défauts.

5. Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, ce qui équivaut (quand $P(B)>0$) à $P(A|B)=P(A)$ : savoir $B$ n'apporte aucune information sur $A$.

Attention : incompatible ($A\cap B=\varnothing$) $\ne$ indépendant. Deux événements incompatibles avec probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

6. Applications techniques STI2D

Fiabilité d'un système

Deux composants indépendants de fiabilité $p_1$ et $p_2$ (probabilité de bon fonctionnement) :

• En série (défaillance si l'un tombe) : $R_s=p_1\times p_2$.
• En parallèle / redondance (défaillance si les deux tombent) : $R_p=1-(1-p_1)(1-p_2)$.

Exemple : deux capteurs à 99 % en parallèle → $R_p=1-0{,}01^2=99{,}99\%$. La redondance améliore drastiquement la sûreté (aéronautique, ferroviaire, médical — normes IEC 61508 / SIL).

Test de dépistage / contrôle qualité

Un test de défaut a 98 % de sensibilité (détecte 98 % des vrais défauts) et 95 % de spécificité (95 % des bons sont vus bons). Prévalence des défauts : 1 %.

• Vrais positifs : $0{,}01\times 0{,}98=0{,}0098$.
• Faux positifs : $0{,}99\times 0{,}05=0{,}0495$.
• Probabilité qu'un test positif soit un vrai défaut : $0{,}0098/(0{,}0098+0{,}0495)\approx 16{,}5\%$.

Résultat contre-intuitif : la plupart des « alarmes » sont fausses quand le défaut est rare. Fondamental en maintenance prédictive et cybersécurité.

À retenir

• $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$, base des arbres.
• Probabilités totales : ventiler par partition, sommer les chemins.
• Bayes : inverser cause/effet, très utilisé en diagnostic.
• Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ≠ incompatibilité.
• Fiabilité série multiplie ; parallèle multiplie les défaillances.