Méthode d'Euler

En clair. Quand on ne sait pas résoudre une équation à la main, on avance par petits pas : on part du point connu et on suit la pente. C'est ce que fait un microcontrôleur.

Ce qu'on te demande au bac STI2D : appliquer $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ sur deux ou trois pas, et comprendre qu'un pas plus petit donne un résultat plus précis.

Exemple simple. $y'=y$, $y_0=1$, $h=0{,}1$ : $y_1=1{,}1$ puis $y_2=1{,}21$.

Méthode d'Euler — cours

Objectif. Résoudre numériquement une équation différentielle $y'=f(t,y)$ avec $y(t_0)=y_0$ quand la solution analytique est inconnue. Utilisée en simulation (Scilab, MATLAB, Python) et sur microcontrôleur.

Principe. $y'(t)\approx\dfrac{y(t+h)-y(t)}{h}$ pour un pas $h$ petit. D'où la récurrence : $y_{n+1}=y_n+h\cdot f(t_n,y_n)$, $t_{n+1}=t_n+h$. Géométriquement, on avance le long de la tangente sur un intervalle $h$.

Exemple — RC. $y'=(E-y)/\tau$, $\tau=RC=0{,}1$ s, $E=5$ V, $y(0)=0$, $h=0{,}01$ s.

• $y_1=0+0{,}01\cdot(5-0)/0{,}1=0{,}50$ V ;
• $y_2=0{,}50+0{,}01\cdot(5-0{,}5)/0{,}1=0{,}95$ V ;
• $y_3\approx 1{,}36$ V.

La solution exacte $y(t)=E(1-e^{-t/\tau})$ donne $y(0{,}03)\approx 1{,}30$ V : erreur ≈ 5 %.

Précision et stabilité. Erreur locale en $O(h^2)$, globale en $O(h)$ : méthode d'ordre 1. Diviser $h$ par 10 divise l'erreur par 10. Instabilité si $h$ trop grand devant $\tau$ : oscillations divergentes. Règle pratique : $h\le\tau/10$. Améliorations : Heun (ordre 2), Runge-Kutta 4 (standard en simulation).

Pseudo-code Python.

def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    for _ in range(n):
        y = y + h*f(t, y)
        t = t + h
    return t, y

Applications 2I2D. Simulation d'un asservissement, trajectoire drone/robot, modèle thermique de bâtiment, prévision charge batterie, résolution d'équations d'état non linéaires.

À retenir. Euler = tangente + petit pas ; ordre 1 ; choisir $h$ suffisamment petit devant la dynamique la plus rapide du système.