Loi binomiale et fiabilité

Loi binomiale et fiabilité — cours

Cadre. Une expérience de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec ($1-p$). On répète $n$ épreuves indépendantes et identiques. La variable $X$ = « nombre de succès » suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$.

Formule. $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k\in\{0,\ldots,n\}$, avec $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Espérance et variance. $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$, $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$. Pour $n=100$ lots avec $p=0{,}02$ de défaut : on attend $E(X)=2$ défauts en moyenne, $\sigma\approx 1{,}4$.

Fiabilité industrielle. Un système de $n$ composants en parallèle, chacun fiable avec probabilité $p$ : $P(\text{système OK})=1-(1-p)^n$. En série : $P=p^n$. Redonder améliore drastiquement la disponibilité (avionique, data centers Tier IV).

Contrôle qualité. Sur un lot de $n=50$ pièces avec $p=0{,}05$ de rebut, on accepte si $X\le 3$. $P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{50}{k}(0{,}05)^k(0{,}95)^{50-k}\approx 0{,}76$. Ce type de plan est normalisé par ISO 2859-1 (plans d'échantillonnage AQL).

Loi normale — approximation. Dès que $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$, $\mathcal{B}(n,p)\approx \mathcal{N}(np,\,np(1-p))$. On calcule alors des intervalles de fluctuation : $[np-1{,}96\sigma\,;\,np+1{,}96\sigma]$ contient $X$ dans 95 % des cas.

MTBF et loi exponentielle. Pour un temps de panne continu, on utilise plutôt $R(t)=e^{-\lambda t}$ avec $\lambda$ le taux de défaillance (h⁻¹) et $\text{MTBF}=1/\lambda$. La binomiale reste l'outil pour compter des événements discrets sur $n$ essais.

À retenir. Loi binomiale = comptage de succès dans $n$ essais indépendants ; $E(X)=np$ ; $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ ; approximation normale dès $n\ge 30$ et $np\ge 5$.