Intégration et grandeurs cumulées

Intégration et grandeurs cumulées — cours

Définition. Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'=f$. L'intégrale $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$ représente l'aire algébrique sous la courbe entre $a$ et $b$. C'est l'opération inverse de la dérivation.

Sens physique — cumul. Intégrer un débit donne une quantité cumulée :

• vitesse $\to$ distance : $d=\int_0^T v(t)\,dt$ (m) ;
• puissance $\to$ énergie : $W=\int_0^T P(t)\,dt$ (J), en kWh dans le tertiaire ;
• courant $\to$ charge : $q=\int_0^T i(t)\,dt$ (C) ;
• débit volumique $\to$ volume : $V=\int_0^T Q_v(t)\,dt$ (m³).

Primitives usuelles.

• $\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n\ne -1$), $\int \tfrac{dx}{x}=\ln|x|$, $\int e^{ax}dx=\tfrac{1}{a}e^{ax}$.
• $\int \sin(\omega t)dt=-\tfrac{1}{\omega}\cos(\omega t)$, $\int \cos(\omega t)dt=\tfrac{1}{\omega}\sin(\omega t)$.
• Linéarité : $\int (\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$.

Valeur moyenne d'un signal sur $[0,T]$ : $\langle f\rangle=\tfrac{1}{T}\int_0^T f(t)\,dt$. Pour un signal sinusoïdal pur : moyenne nulle. Valeur efficace (RMS) : $F_{\text{eff}}=\sqrt{\tfrac{1}{T}\int_0^T f^2(t)\,dt}$ ; pour $u(t)=U_m\sin(\omega t)$, $U_{\text{eff}}=U_m/\sqrt{2}$ (secteur 230 V eff. $\Leftrightarrow$ 325 V crête).

Méthodes numériques. Quand la primitive est inconnue, on utilise :

• rectangles : $I\approx h\sum f(x_i)$ (ordre 1),
• trapèzes : $I\approx \tfrac{h}{2}(f_0+2f_1+\ldots+2f_{n-1}+f_n)$ (ordre 2),
• Simpson : encore plus précis. Un microcontrôleur cumule ainsi une consommation à partir d'échantillons du courant.

Exemple. Un moteur consomme $P(t)=200+100\sin(2\pi\cdot 0{,}1\,t)$ W pendant 10 s. Alors $W=\int_0^{10}P\,dt=200\cdot 10 + 0 = 2000$ J (le terme sinusoïdal a une intégrale nulle sur une période entière).

À retenir. Intégrer, c'est cumuler dans le temps ; l'aire sous $P(t)$ donne l'énergie ; la valeur efficace se calcule via $\int f^2$.