Équations différentielles linéaires

Équations différentielles linéaires — cours

Définition. Une équation différentielle (ED) linéaire du premier ordre s'écrit $y'+ay=b(t)$ ($a$ constant). Du second ordre : $y''+2\xi\omega_0 y'+\omega_0^2 y=b(t)$.

Résolution 1er ordre à second membre constant. L'ED $y'+\dfrac{y}{\tau}=\dfrac{K}{\tau}$ a pour solution $y(t)=K+(y_0-K)e^{-t/\tau}$. $\tau$ est la constante de temps (s) : à $t=\tau$, on a atteint 63 % de la valeur finale ; à $t=5\tau$, 99 %.

Cas physiques types.

• Charge d'un condensateur (RC) : $u_C(t)=E(1-e^{-t/RC})$, $\tau=RC$. Un RC de 1 kΩ et 100 µF donne $\tau=0{,}1$ s.
• Établissement du courant dans une bobine (RL) : $i(t)=\tfrac{E}{R}(1-e^{-Rt/L})$, $\tau=L/R$.
• Refroidissement de Newton : $\theta'+\tfrac{1}{\tau}(\theta-\theta_\infty)=0 \Rightarrow \theta(t)=\theta_\infty+(\theta_0-\theta_\infty)e^{-t/\tau}$.
• Décharge radioactive / capteur bio : $N'=-\lambda N \Rightarrow N(t)=N_0 e^{-\lambda t}$, demi-vie $T_{1/2}=\ln 2/\lambda$.

Second ordre — oscillations. $y''+2\xi\omega_0 y'+\omega_0^2 y=0$ (masse-ressort-amortisseur, RLC série) :

• $\xi<1$ pseudo-périodique : $y(t)=A e^{-\xi\omega_0 t}\cos(\omega_p t+\varphi)$ avec $\omega_p=\omega_0\sqrt{1-\xi^2}$ ;
• $\xi=1$ critique : retour le plus rapide sans dépassement ;
• $\xi>1$ apériodique : deux exponentielles décroissantes.

Applications 2I2D. Amortisseur de véhicule dimensionné pour $\xi\approx 0{,}7$ (confort/tenue de route). Suspension d'un moteur, boucle d'asservissement, filtre RLC de découpage : mêmes équations, même méthode.

Vérification. On teste toujours la solution en la réinjectant dans l'ED et en vérifiant les conditions initiales $y(0)$ et $y'(0)$.

À retenir. 1er ordre $\to$ constante de temps $\tau$ ; 2nd ordre $\to$ pulsation propre $\omega_0$ et amortissement $\xi$. Ces deux modèles décrivent l'immense majorité des systèmes dynamiques rencontrés en STI2D.