Vecteurs et statique

Vecteurs et statique — cours

Vecteur force. Une force est caractérisée par point d'application, direction, sens, intensité (N).

Somme. Règle du parallélogramme ou composantes : $F_x=\sum F_{ix}$, $F_y=\sum F_{iy}$, $\|\vec F\|=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$, direction $\tan\alpha=F_y/F_x$.

Équilibre d'un solide. Deux conditions :

1. Résultante nulle : $\sum\vec F_{\text{ext}}=\vec 0$ (2 éq. en 2D, 3 éq. en 3D) ;
2. Moment résultant nul : $\sum\vec M_O(\vec F_{\text{ext}})=\vec 0$ en tout point $O$.

Moment d'une force. $\vec M_O(\vec F)=\vec{OA}\wedge\vec F$ (N·m). En 2D : $M=\pm F\cdot d$ avec $d$ le bras de levier. Signe : + pour rotation trigonométrique.

Cas types. Solide à 2 forces : équilibre ssi opposées et colinéaires. Solide à 3 forces non parallèles : droites concourantes et triangle des forces fermé (Varignon).

Exemple — poutre. Poutre 4 m, poids $P=2$ kN centré : réactions $R_A=R_B=1$ kN. Charge à 1 m de $A$ : $R_A=1{,}5$ kN, $R_B=0{,}5$ kN (équation des moments en $B$).

Frottement solide (Coulomb). Équilibre : $\|\vec T\|\le\mu_s\|\vec N\|$. Glissement : $\|\vec T\|=\mu_c\|\vec N\|$. $\mu_s$ acier/acier ≈ 0,7 ; pneu/bitume sec ≈ 0,9.

Applications 2I2D. Dimensionnement d'un pont, charpente, mât d'éolienne (moment de flexion en pied), bras robotisé, potence de levage. Les Eurocodes (EN 1990/1991) fixent combinaisons d'actions et coefficients de sécurité.

À retenir. Équilibre = résultante ET moment nuls ; les moments dépendent du bras de levier ; 3 équations en 2D pour 3 inconnues (2 réactions + 1 encastrement).