Mathématiques pour l'ingénieur : suites et modèles

Mathématiques pour l'ingénieur : suites et modèles

1. Modéliser un phénomène par une suite

Un capteur échantillonne à la période $T_e$ : à chaque top, on obtient une valeur $u_n$. Les systèmes discrets et bouclés se décrivent naturellement par une suite $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ ou $u_n=f(n)$.

Domaines d'application STI2D :

• Régulation de température, débit, position (asservissement discret).
• Amortissement bancaire, gestion de stock, prévision de production.
• Filtres numériques (moyenne mobile, IIR).
• Population, dépollution, décroissance radioactive.

2. Rappels : arithmétique et géométrique

• Arithmétique $u_{n+1}=u_n+r$ : $u_n=u_0+nr$. Modélise un apport ou une consommation constants.
• Géométrique $u_{n+1}=qu_n$ : $u_n=u_0 q^n$. Modélise un taux d'évolution constant (intérêts, décroissance).

Somme géométrique : $\sum_{k=0}^n q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\ne 1$.

3. Suites arithmético-géométriques : le modèle central

Forme $u_{n+1}=a u_n + b$ avec $a\ne 1$.

Point fixe : $\ell=b/(1-a)$. On pose $v_n=u_n-\ell$ ; alors $v_{n+1}=a v_n$ est géométrique. D'où : $u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$

Interprétation :

• Si $|a|<1$ : $u_n\to \ell$ (système stable, régime permanent).
• Si $|a|>1$ : divergence (système instable).

4. Étude d'un asservissement discret

Un four est régulé toutes les secondes. La température vérifie : $T_{n+1}=0{,}85\,T_n + 30$ (15 % de pertes par échange, 30 °C d'apport chauffage par pas).

Point fixe : $\ell=30/0{,}15=200$ °C. Départ à 20 °C : $T_n=200-180\times 0{,}85^n$.

• $T_{10}\approx 200-180\times 0{,}197 \approx 165$ °C.
• Temps pour atteindre 95 % de 200 (soit 190 °C) : $180\times 0{,}85^n<10 \Rightarrow n>\ln(10/180)/\ln 0{,}85\approx 17{,}8$ soit 18 pas (18 s).

5. Filtre numérique passe-bas (EMA)

La moyenne mobile exponentielle lisse un signal bruité : $y_n = \alpha y_{n-1}+(1-\alpha)x_n,\quad 0<\alpha<1$

• $\alpha=0{,}9$ : lissage fort, retard important.
• $\alpha=0{,}1$ : peu de lissage, suit rapidement le signal.
• Fréquence de coupure approximative : $f_c\approx (1-\alpha)/(2\pi T_e)$.

Ce filtre du premier ordre est omniprésent : lissage de mesures GPS, débruitage d'une thermistance, adoucissement du signal d'un potentiomètre.

6. Modèles logistiques discrets

Quand un phénomène sature (population limitée par une ressource), on utilise : $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n/K)$

$K$ = capacité de charge. Suivant $r$, comportement stable, oscillant ou chaotique — base des modèles de dynamique de population.

7. Amortissement d'un emprunt

Capital emprunté $C_0$, taux mensuel $t$, mensualité $m$ : $C_{n+1}=(1+t)C_n - m$ Point fixe : $\ell=m/t$. Le prêt est soldé lorsque $C_n=0$, d'où la relation classique : $m = C_0 \cdot \dfrac{t}{1-(1+t)^{-N}}$

Exemple. $C_0=10\,000$ €, $t=0{,}003$ (3,6 %/an), $N=48$ mois : $m\approx 224$ €/mois ; coût total 10 750 € (750 € d'intérêts).

8. Mise en œuvre algorithmique

def suite_ag(a, b, u0, N):
    u = u0
    hist = [u]
    for _ in range(N):
        u = a*u + b
        hist.append(u)
    return hist

Idéal pour tracer la courbe et repérer visuellement point fixe et régime transitoire.

À retenir

• Arithmético-géométrique : trouver $\ell$, se ramener à une géométrique.
• $|a|<1$ → convergence vers $\ell$ ; sinon divergence.
• Le régime transitoire s'estompe en $\approx 3$ à $5\tau$ (temps discret équivalent : $-1/\ln|a|$ pas).
• La suite est le modèle naturel de tout phénomène échantillonné.