Mécanique appliquée

Mécanique appliquée

La mécanique appliquée relie efforts, mouvements et énergies dans les systèmes réels (véhicules, machines, structures). Elle mobilise trois grands piliers : la statique, la cinématique et la dynamique.

1. Statique — équilibre d'un solide

Un solide est en équilibre si :

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \sum \vec{M}_{A}(\vec{F}_{\text{ext}}) = \vec{0}$

Le moment d'une force $\vec{F}$ appliquée en $B$ par rapport à un point $A$ vaut $\vec{M}_A = \vec{AB} \wedge \vec{F}$. En 2D, $M = F \cdot d$ où $d$ est le bras de levier (m). Unité : N·m.

Exemple : une poutre de 4 m soutient une charge de 2 000 N à 3 m de l'appui gauche. Réaction à droite : $R_D = \frac{2000 \times 3}{4} = 1500\,\text{N}$.

2. Cinématique — décrire le mouvement

• Vitesse : $v = \dfrac{dx}{dt}$ (m·s⁻¹)
• Accélération : $a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}$ (m·s⁻²)
• MRUA (mouvement uniformément accéléré) : $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$

Ordre de grandeur : une voiture qui passe de 0 à 100 km/h en 8 s a $a \approx 3{,}5\,\text{m·s}^{-2}$, soit ~0,35 g.

3. Dynamique — 2ᵉ loi de Newton

$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \vec{a}$

Le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) permet de calculer forces ou accélérations. Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe : $\sum M = J \cdot \ddot{\theta}$, où $J$ est le moment d'inertie (kg·m²).

4. Énergétique

• Énergie cinétique : $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$ (translation), $E_c = \tfrac{1}{2}J\omega^2$ (rotation)
• Travail d'une force : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ (J)
• Puissance : $P = \dfrac{W}{\Delta t} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ (W)
• Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = \sum W_{\text{ext}}$

Exemple industriel : un tramway de 40 t roulant à 50 km/h stocke $E_c = \tfrac{1}{2}\cdot 40000 \cdot (13{,}9)^2 \approx 3{,}87\,\text{MJ}$ — d'où l'intérêt du freinage régénératif.

5. Frottements et rendement

Le frottement solide (loi de Coulomb) : $|T| \le \mu N$ (statique), $T = \mu_d N$ (dynamique). Le rendement d'une chaîne mécanique : $\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}}$. Un réducteur roues-vis : $\eta \approx 0{,}6$–$0{,}9$ ; un engrenage droit : $\eta \approx 0{,}96$.

À retenir

• L'équilibre exige forces et moments nuls.
• PFD : $\vec{F} = m\vec{a}$ ; version rotation : $M = J\ddot{\theta}$.
• Énergie cinétique proportionnelle à $v^2$ : doubler la vitesse quadruple l'énergie à dissiper au freinage.
• Rendement toujours < 1 à cause des pertes (frottement, effet Joule).