Mathématiques pour l'ingénieur

Mathématiques pour l'ingénieur

Les mathématiques STI2D sont des outils au service de la physique et de l'ingénierie. Ce chapitre transversal réunit les notions les plus utilisées : fonctions usuelles, dérivées, primitives, équations différentielles, complexes, suites, probabilités.

1. Fonctions et modélisation

Trois familles reviennent partout :

• Affine $f(x)=ax+b$ — proportionnalité + décalage (loi d'Ohm $U=RI$).
• Exponentielle $f(t)=A\,e^{-t/\tau}$ — décharge d'un condensateur, refroidissement, atténuation.
• Sinusoïdale $f(t)=A\sin(\omega t + \varphi)$ — courant alternatif, ondes, vibrations. Ici $\omega = 2\pi f$ (rad/s), $T = 1/f$ (s).

2. Dérivée et taux de variation

$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Interprétation : vitesse instantanée de variation. En physique : $v(t)=x'(t)$, $i(t)=q'(t)$, $P(t)=W'(t)$.

Dérivées à connaître : $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$, $(\ln x)' = 1/x$, $(\sin \omega t)' = \omega \cos \omega t$.

3. Intégrale et grandeurs cumulées

$\int_a^b f(t)\,dt = F(b)-F(a)$

Sens physique : cumul (aire sous la courbe). Exemples : $W=\int P\,dt$, $q=\int i\,dt$, $x=\int v\,dt$.

4. Équations différentielles linéaires

Modèle du 1ᵉʳ ordre : $\tau\,y'+y=E$ ⇒ $y(t) = E + (y_0-E)e^{-t/\tau}$.
Constante de temps $\tau$ (s) : 63 % de la valeur finale atteinte en $t=\tau$ ; régime permanent après $\sim 5\tau$.

5. Nombres complexes en électricité

Un signal $u(t)=U\sqrt2 \cos(\omega t+\varphi)$ se code par $\underline U = U e^{j\varphi}$. Impédances :

• Résistance : $\underline Z_R = R$
• Bobine : $\underline Z_L = jL\omega$
• Condensateur : $\underline Z_C = \dfrac{1}{jC\omega}$

Loi d'Ohm complexe : $\underline U = \underline Z\,\underline I$. Module = amplitude, argument = déphasage.

6. Suites et logarithme décimal

• Suite géométrique $u_{n+1}=q u_n$ ⇒ $u_n = u_0 q^n$. Cas type : intérêts composés, décroissance radioactive.
• Logarithme décimal : $\log(10^n)=n$. Utilisé pour les décibels : $L=10\log(P/P_0)$ dB.

7. Statistiques et probabilités

• Moyenne $\bar x$, écart-type $\sigma$ (dispersion).
• Loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ pour la fiabilité : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$.

À retenir

• Dériver = taux instantané ; intégrer = cumul.
• $e^{-t/\tau}$ modélise tout régime transitoire linéaire du 1ᵉʳ ordre.
• Les complexes transforment les équations différentielles sinusoïdales en équations algébriques.
• Toujours vérifier unités et ordres de grandeur.