Nombres complexes pour l'électronique

Nombres complexes pour l'électronique — cours

Définition. $\mathbb{C}=\{a+jb\mid a,b\in\mathbb R,\; j^2=-1\}$. En électronique on note $j$ pour éviter la confusion avec le courant $i$. Partie réelle $\Re(z)=a$, imaginaire $\Im(z)=b$. Module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, argument $\arg(z)=\theta$ avec $\tan\theta=b/a$.

Formes. Algébrique $z=a+jb$ ; trigo $z=|z|(\cos\theta+j\sin\theta)$ ; exponentielle $z=|z|\,e^{j\theta}$ (Euler : $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$).

Opérations. $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$, $\arg(z_1 z_2)=\arg z_1+\arg z_2$ ; $\overline z=a-jb$ ; $z\bar z=|z|^2$ ; $1/z=\bar z/|z|^2$.

Signaux sinusoïdaux. À $s(t)=S_m\cos(\omega t+\varphi)$ on associe $\underline S=S_m\,e^{j\varphi}$. Somme de sinusoïdes de même $\omega$ $\to$ somme de complexes. Dériver $\to$ multiplier par $j\omega$ ; intégrer $\to$ diviser.

Impédances complexes ($\underline U=\underline Z\,\underline I$) :

• résistance $\underline Z_R=R$ ;
• bobine $\underline Z_L=jL\omega$ (déphasage +π/2) ;
• condensateur $\underline Z_C=1/(jC\omega)=-j/(C\omega)$ (déphasage −π/2).

Association série $\underline Z=\sum\underline Z_i$ ; parallèle $1/\underline Z=\sum 1/\underline Z_i$.

Exemple RLC série. $R=100$ Ω, $L=100$ mH, $C=1$ µF, $f=1$ kHz : $\omega\approx 6283$ rad/s, $L\omega\approx 628$ Ω, $1/(C\omega)\approx 159$ Ω. $\underline Z=100+j(628-159)=100+j469$ Ω. $|\underline Z|\approx 480$ Ω, $\arg\underline Z\approx 78°$ : circuit inductif à 1 kHz.

Résonance. $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ : partie imaginaire nulle, $|\underline Z|$ minimal (série) ou maximal (parallèle). Filtres, oscillateurs, adaptation d'antenne, charge sans fil (Qi).

Diagrammes. Plan de Fresnel = plan complexe visualisant tensions/courants comme vecteurs tournants. Les Bode découlent directement de $H(j\omega)$.

À retenir. Les complexes remplacent les équations différentielles sinusoïdales par de l'algèbre : impédances, sommes, diviseurs, fonctions de transfert.