Mécanique : énergie et travail

Mécanique : énergie et travail — cours

Travail d'une force constante. Le travail de $\vec F$ sur $\vec{AB}$ vaut $W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\vec{AB}=F\cdot AB\cdot\cos\alpha$ (J). $W>0$ = force motrice, $W<0$ = résistante, $W=0$ si $\vec F\perp$ déplacement.

Énergies. cinétique $E_c=\tfrac{1}{2}mv^2$ (J) ; potentielle de pesanteur $E_{pp}=mgz$ ($g=9{,}81$ m/s²) ; élastique $E_{pe}=\tfrac{1}{2}k x^2$ ; mécanique $E_m=E_c+E_p$.

Théorème de l'énergie cinétique. $\Delta E_c=\sum W(\vec F_{\text{ext}})$. Sans frottement, $E_m$ se conserve : bille lâchée de $h=1$ m arrive à $v=\sqrt{2gh}\approx 4{,}4$ m/s. Avec frottements : $\Delta E_m=W(\text{frott.})<0$.

Puissance. $P=\dfrac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v$ (W). Voiture 1 200 kg, 0→100 km/h (27,8 m/s) en 10 s : $\Delta E_c\approx 463$ kJ, $P_{\text{moy}}\approx 46$ kW ≈ 63 ch. Un cycliste soutient 200–300 W.

Rendement. $\eta=P_{\text{utile}}/P_{\text{absorbée}}$. Motoréducteur 70–90 % ; boîte 95 % ; chaîne VE globale ≈ 85 %, contre 25–30 % pour un thermique.

Cas industriels. Ascenseur 1 000 kg à 1,5 m/s : $P=mgv\approx 14{,}7$ kW (un contrepoids réduit la puissance). Éolienne : $P=\tfrac{1}{2}\rho S v^3 C_p$ avec $C_p\le 0{,}59$ (limite de Betz), $\rho\approx 1{,}2$ kg/m³. Crash-test : la zone déformable dissipe $E_c$ (norme Euro NCAP).

Frottements. Sec : $\|\vec f\|=\mu N$. Fluide : $\vec f=-\tfrac{1}{2}\rho C_x S v^2\,\hat v$. Dissipés en chaleur $Q=|W_{\text{frott}}|$.

À retenir. Travail = $F\cdot d\cos\alpha$ ; $E_c=\tfrac12 mv^2$ ; $P=Fv$ ; bilan énergétique + rendement = clé de tout dimensionnement 2I2D.