Géométrie de l'espace pour l'ingénieur

Géométrie de l'espace pour l'ingénieur — cours

Repère orthonormé. Point $M(x,y,z)$ dans $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$. Vecteur $\vec u\!\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ : norme $\|\vec u\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Distance $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

Produit scalaire. $\vec u\cdot\vec v=aa'+bb'+cc'=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$. Orthogonalité $\Leftrightarrow \vec u\cdot\vec v=0$. Angles, projections, travail d'une force.

Produit vectoriel. $\vec u\wedge\vec v$ perpendiculaire au plan $(\vec u,\vec v)$, norme $\|\vec u\|\|\vec v\|\sin\theta$ (aire du parallélogramme). Applications : moment $\vec M_O(\vec F)=\vec{OM}\wedge\vec F$, normale à un plan, orientation CAO.

Plans et droites. Plan : $ax+by+cz+d=0$ ($(a,b,c)$ normal). Droite : $x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct$. Distance point-plan : $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Volumes usuels. Pavé $Llh$ ; cylindre $\pi r^2 h$ ; sphère $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ ; cône $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$. Aires latérales : cylindre $2\pi r h$, sphère $4\pi r^2$.

CAO. SolidWorks, Fusion 360, FreeCAD : chaque pièce a un repère local, les assemblages appliquent rotations $R$ et translations $T$. Les matrices homogènes $4\times 4$ combinent $R$ et $T$ en un produit unique.

Applications. Bras robotisé 6 axes (modèle géométrique direct) ; impression 3D (G-code = trajectoires XYZ + extrusion E) ; volume d'une semelle béton ; orientation d'un panneau PV (vecteur normal + azimut/altitude solaire).

À retenir. Vecteurs et produits (scalaire, vectoriel) = boîte à outils pour angles, distances, moments et orientations 3D.