Fonctions de transfert (initiation)

Fonctions de transfert (initiation) — cours

Idée. Pour étudier un système linéaire (RC, RLC, mécanique, thermique, asservissement) on remplace la résolution d'équations différentielles par un simple produit dans le domaine de Laplace. La fonction de transfert $H(p)=S(p)/E(p)$ relie la sortie à l'entrée, sous conditions initiales nulles.

Opérateur de Laplace. À une fonction $s(t)$ on associe $S(p)=\int_0^{\infty}s(t)e^{-pt}dt$. Correspondances utiles :

• dérivation $\dfrac{ds}{dt}\leftrightarrow pS(p)$ ;
• intégration $\int s\,dt\leftrightarrow S(p)/p$ ;
• échelon $u(t)\leftrightarrow 1/p$ ; impulsion $\delta(t)\leftrightarrow 1$ ; rampe $t\leftrightarrow 1/p^2$.

Premier ordre. $\tau\,\dfrac{ds}{dt}+s=K\,e \Rightarrow H(p)=\dfrac{K}{1+\tau p}$. Gain statique $K$, constante de temps $\tau$. Réponse indicielle : $s(t)=K(1-e^{-t/\tau})$. Bande passante à −3 dB : $f_c=\dfrac{1}{2\pi\tau}$.

Second ordre. $H(p)=\dfrac{K\,\omega_0^2}{p^2+2\xi\omega_0 p+\omega_0^2}$. Selon $\xi$ : apériodique ($\xi>1$), critique ($\xi=1$), pseudo-périodique ($\xi<1$) avec dépassement $D\%=100\,e^{-\xi\pi/\sqrt{1-\xi^2}}$ et temps de réponse à 5 % minimal pour $\xi\approx 0{,}7$.

Diagrammes de Bode. Gain en dB $G(f)=20\log|H(j2\pi f)|$ + phase $\varphi(f)$. Passe-bas 1er ordre : plateau à $20\log K$ puis pente −20 dB/décade au-delà de $f_c$. Passe-bande, passe-haut : mêmes règles avec pôles/zéros.

Association. En cascade sans interaction : $H_{\text{tot}}=H_1\cdot H_2\cdot\ldots$ ; en boucle fermée à retour unitaire : $\text{BF}=\dfrac{H}{1+H}$. On règle un correcteur (P, PI, PID) sur $H$ pour maîtriser précision, rapidité, stabilité.

Exemple. RC passe-bas $R=10$ kΩ, $C=100$ nF : $\tau=10^{-3}$ s, $f_c=159$ Hz, $H(p)=1/(1+10^{-3}p)$. À 1 kHz, atténuation ≈ 16 dB.

À retenir. $H(p)$ concentre le comportement dynamique dans une fraction rationnelle ; ordre = nombre d'énergies stockées ; $\tau$, $\omega_0$, $\xi$ sont les paramètres à lire directement sur $H$.