Logique combinatoire

Logique combinatoire

Un circuit combinatoire produit une sortie qui ne dépend que des entrées actuelles (pas de mémoire). C'est la brique élémentaire de tout système numérique.

1. Algèbre de Boole

Variables ∈ {0, 1}. Trois opérateurs de base :

• ET : $a \cdot b$ (AND), vaut 1 si $a=b=1$.
• OU : $a + b$ (OR), vaut 1 si au moins l'une des entrées vaut 1.
• NON : $\bar a$ (NOT).

Théorèmes utiles

Loi	Formule
Idempotence	$a+a=a$, $a\cdot a=a$
Complément	$a+\bar a=1$, $a\cdot\bar a=0$
De Morgan	$\overline{a+b}=\bar a\cdot\bar b$, $\overline{a\cdot b}=\bar a+\bar b$
Absorption	$a+ab=a$, $a(a+b)=a$

2. Portes logiques

Porte	Symbole	Équation
AND	&	$S=a\cdot b$
OR	≥1	$S=a+b$
NOT	1	$S=\bar a$
NAND	& (○)	$S=\overline{a\cdot b}$
NOR	≥1 (○)	$S=\overline{a+b}$
XOR	=1	$S=a\oplus b=a\bar b+\bar a b$

NAND et NOR sont dites universelles : n'importe quelle fonction booléenne peut être réalisée avec elles seules.

3. Table de vérité et forme canonique

Pour 3 entrées, on a $2^3=8$ combinaisons. La forme disjonctive est la somme des mintermes correspondant aux sorties à 1.
Exemple $S(a,b,c)$ vaut 1 pour (0,1,1) et (1,0,1) :

$S = \bar a b c + a\bar b c$

4. Simplification par tableau de Karnaugh

Regrouper les 1 adjacents (par 2, 4, 8) permet d'éliminer une variable par regroupement. Objectif : réduire le nombre de portes → coût, surface, consommation, délai.

5. Circuits combinatoires classiques

• Demi-additionneur : $S=a\oplus b$, $C=a\cdot b$.
• Additionneur complet : $S=a\oplus b\oplus C_{in}$, $C_{out}=ab+C_{in}(a\oplus b)$.
• Multiplexeur $2^n$→1 : sélectionne une entrée parmi $2^n$ via $n$ bits d'adresse.
• Décodeur $n$→$2^n$ : active une sortie unique selon l'adresse.
• Comparateur de mots binaires.

6. Technologie et normes

• Familles : CMOS (74HCxx), FPGA (Xilinx, Intel), ASIC.
• Tensions logiques : 5 V (TTL), 3,3 V, 1,8 V ou moins (basse conso).
• Temps de propagation typique : 1 ns pour une porte CMOS moderne.

À retenir

• Combinatoire = pas de mémoire, sortie = $f$(entrées).
• De Morgan permet de tout ramener à NAND ou NOR.
• Karnaugh minimise l'expression avant réalisation matérielle.
• Les circuits complexes (ALU, mémoires) sont construits à partir de ces briques.