Nombres complexes

Nombres complexes — cours complet\n\n## Représenter avant de calculer\nEn géométrie, trigonométrie, nombres complexes ou matrices, le premier réflexe est de représenter la situation : repère, figure, graphe, tableau de coordonnées ou schéma de transformation. Une bonne représentation évite la plupart des erreurs de signe et de sens.\n\n## Outils essentiels\n- Dans l’espace, un vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$.\n- Le produit scalaire vérifie $\\vec u\\cdot\\vec v=xx'+yy'+zz'=\\|\\vec u\\|\\,\\|\\vec v\\|\\cos\\theta$. Il sert à tester l’orthogonalité.\n- Une droite peut se décrire par une représentation paramétrique ; un plan par une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$.\n- En trigonométrie, le cercle unité donne les signes, les valeurs remarquables et les périodicités.\n- Avec les complexes, $z=a+ib$ code un point ou un vecteur ; le module $|z|$ donne une distance et l’argument donne un angle.\n\n## Méthode type bac\n1. Nommer les objets : points, vecteurs, droite, plan, transformation.\n2. Choisir un critère : colinéarité, orthogonalité, appartenance, distance, angle, intersection.\n3. Écrire les coordonnées puis effectuer les calculs de manière lisible.\n4. Conclure en français : “les droites sont sécantes”, “le point appartient au plan”, “les vecteurs sont orthogonaux”.\n\n## Exemple concret\nPour vérifier si deux directions sont perpendiculaires, on calcule le produit scalaire. Si $\\vec u=(2,-1,3)$ et $\\vec v=(1,5,1)$, alors $\\vec u\\cdot\\vec v=2-5+3=0$ : les directions sont orthogonales. Cette vérification est utilisée en architecture, en robotique et en modélisation 3D.\n\n## Points de vigilance\nNe pas confondre coordonnées d’un point et coordonnées d’un vecteur ; vérifier les paramètres ; utiliser les parenthèses dans les produits scalaires ; justifier une conclusion géométrique par un calcul ou un théorème clairement identifié.