Limites de fonctions

Limites de fonctions

Limite en un point / à l'infini

Limite finie en un point : $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ que voulu quand $x$ approche $a$.

Limite infinie : $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$ devient arbitrairement grand quand $x$ approche $a$.

Limite à l'infini : $\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell$ signifie que $f(x)$ approche $\ell$ pour $x$ suffisamment grand.

Limites de référence

• $\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty$ ($n\geq 1$) ; $\lim_{x\to-\infty} x^n = +\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair.
• $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{1}{x^n}=0$.
• $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$.
• $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$.
• $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.

Opérations sur les limites

Formes déterminées : somme, produit, quotient s'obtiennent en général par les règles usuelles.

Formes indéterminées (FI) à connaître :

• $\infty - \infty$
• $0 \times \infty$
• $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$
• $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$

Pour lever une FI : factoriser par le terme dominant, utiliser l'expression conjuguée, appliquer les croissances comparées.

Croissances comparées (à connaître par cœur)

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \ (n>0)$

$\lim_{x\to-\infty} x^n\,\mathrm{e}^x = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0$

En français : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, et toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme.

Théorèmes de comparaison

• Si $f(x)\leq g(x)$ à partir d'un certain rang et $\lim f=+\infty$, alors $\lim g=+\infty$.
• Si $|f(x)-\ell|\leq g(x)$ et $\lim g=0$, alors $\lim f=\ell$.
• Théorème des gendarmes : $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ avec $\lim u=\lim v=\ell$, alors $\lim f=\ell$.

Asymptotes

• Asymptote horizontale $y=\ell$ : $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell$.
• Asymptote verticale $x=a$ : $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$.
• Asymptote oblique $y=ax+b$ : $\lim_{x\to\pm\infty} [f(x)-(ax+b)]=0$.

Méthode type bac

1. Identifier la forme (déterminée ou FI).
2. Si FI, factoriser par le terme dominant ou utiliser conjugué / croissances comparées.
3. Conclure et interpréter (asymptote éventuelle).

Exemple FI. $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$. Multiplier par conjugué : $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\to\dfrac{1}{2}$.

Points-clés

• Retenir les limites de référence et les 7 formes indéterminées.
• Croissances comparées : outil décisif au bac.
• Théorème des gendarmes pour les fonctions trigonométriques.
• Asymptotes = interprétation graphique des limites.