Limites de fonctions

En clair. Calculs et théorèmes

Ce qu'on te demande au bac (Spé Maths) : maîtriser le vocabulaire de « Limites de fonctions », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Limites de fonctions

Limite en un point / à l'infini

Limite finie en un point : $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ que voulu quand $x$ approche $a$.

Limite infinie : $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$ devient arbitrairement grand quand $x$ approche $a$.

Limite à l'infini : $\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell$ signifie que $f(x)$ approche $\ell$ pour $x$ suffisamment grand.

Limites de référence

• $\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty$ ($n\geq 1$) ; $\lim_{x\to-\infty} x^n = +\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair.
• $\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{1}{x^n}=0$.
• $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$.
• $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$.
• $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.

Opérations sur les limites

Formes déterminées : somme, produit, quotient s'obtiennent en général par les règles usuelles.

Formes indéterminées (FI) à connaître :

• $\infty - \infty$
• $0 \times \infty$
• $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$
• $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$

Pour lever une FI : factoriser par le terme dominant, utiliser l'expression conjuguée, appliquer les croissances comparées.

Croissances comparées (à connaître par cœur)

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \ (n>0)$

$\lim_{x\to-\infty} x^n\,\mathrm{e}^x = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0$

En français : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, et toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme.

Théorèmes de comparaison

• Si $f(x)\leq g(x)$ à partir d'un certain rang et $\lim f=+\infty$, alors $\lim g=+\infty$.
• Si $|f(x)-\ell|\leq g(x)$ et $\lim g=0$, alors $\lim f=\ell$.
• Théorème des gendarmes : $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ avec $\lim u=\lim v=\ell$, alors $\lim f=\ell$.

Asymptotes

• Asymptote horizontale $y=\ell$ : $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell$.
• Asymptote verticale $x=a$ : $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$.
• Asymptote oblique $y=ax+b$ : $\lim_{x\to\pm\infty} [f(x)-(ax+b)]=0$.

Méthode type bac

1. Identifier la forme (déterminée ou FI).
2. Si FI, factoriser par le terme dominant ou utiliser conjugué / croissances comparées.
3. Conclure et interpréter (asymptote éventuelle).

Exemple FI. $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$. Multiplier par conjugué : $\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\to\dfrac{1}{2}$.

Points-clés

• Retenir les limites de référence et les 7 formes indéterminées.
• Croissances comparées : outil décisif au bac.
• Théorème des gendarmes pour les fonctions trigonométriques.
• Asymptotes = interprétation graphique des limites.