Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

En clair. TVI

Ce qu'on te demande au bac (Spé Maths) : maîtriser le vocabulaire de « Continuité et théorème des valeurs intermédiaires », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité en un point

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ est continue en $a$ si :

$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

Opérations et fonctions usuelles

Les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et compositions de fonctions continues sont continues. En particulier, sont continues sur leur ensemble de définition :

• polynômes, fonctions rationnelles ;
• $\sqrt{\phantom{x}}$, $\exp$, $\ln$, $\sin$, $\cos$ ;
• toute fonction dérivable est continue.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé. Soit $f$ continue sur $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe (au moins) un $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Corollaire (bijection). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout $k\in[f(a);f(b)]$ (ou $[f(b);f(a)]$), l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$.

Ce corollaire est l'outil-clé pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation $f(x)=k$.

Méthode : montrer que $f(x)=0$ a une unique solution

1. Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle étudié.
2. Étudier le sens de variation (dérivée + signe).
3. Vérifier que $f$ change de signe entre les bornes ($f(a)\cdot f(b)<0$).
4. Conclure par le corollaire du TVI.
5. Encadrement de $\alpha$ à $10^{-p}$ près : dichotomie ou tableau à la calculatrice.

Exemple. $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0;1]$. $f'(x)=3x^2+1>0$ donc $f$ strictement croissante. $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$. Par le TVI + monotonie, il existe un unique $\alpha\in]0;1[$ tel que $f(\alpha)=0$. Dichotomie : $\alpha\approx 0{,}68$.

Prolongement par continuité

Si $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ existe (avec $f$ non définie en $a$), on peut poser $\tilde f(a)=\ell$ : la fonction prolongée est continue en $a$.

Limites, continuité et dérivabilité

• Continue $\not\Rightarrow$ dérivable (contre-exemple : $|x|$ en 0).
• Dérivable $\Rightarrow$ continue.

Points-clés

• Continuité en $a$ : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Fonctions usuelles + opérations : continuité "gratuite".
• TVI + stricte monotonie = existence ET unicité d'une solution.
• Toujours vérifier les 3 hypothèses (continuité, monotonie, changement de signe) avant d'invoquer le corollaire.