Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité en un point

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ est continue en $a$ si :

$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

Opérations et fonctions usuelles

Les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et compositions de fonctions continues sont continues. En particulier, sont continues sur leur ensemble de définition :

• polynômes, fonctions rationnelles ;
• $\sqrt{\phantom{x}}$, $\exp$, $\ln$, $\sin$, $\cos$ ;
• toute fonction dérivable est continue.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé. Soit $f$ continue sur $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe (au moins) un $c\in[a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Corollaire (bijection). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout $k\in[f(a);f(b)]$ (ou $[f(b);f(a)]$), l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$.

Ce corollaire est l'outil-clé pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution d'une équation $f(x)=k$.

Méthode : montrer que $f(x)=0$ a une unique solution

1. Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle étudié.
2. Étudier le sens de variation (dérivée + signe).
3. Vérifier que $f$ change de signe entre les bornes ($f(a)\cdot f(b)<0$).
4. Conclure par le corollaire du TVI.
5. Encadrement de $\alpha$ à $10^{-p}$ près : dichotomie ou tableau à la calculatrice.

Exemple. $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0;1]$. $f'(x)=3x^2+1>0$ donc $f$ strictement croissante. $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$. Par le TVI + monotonie, il existe un unique $\alpha\in]0;1[$ tel que $f(\alpha)=0$. Dichotomie : $\alpha\approx 0{,}68$.

Prolongement par continuité

Si $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ existe (avec $f$ non définie en $a$), on peut poser $\tilde f(a)=\ell$ : la fonction prolongée est continue en $a$.

Limites, continuité et dérivabilité

• Continue $\not\Rightarrow$ dérivable (contre-exemple : $|x|$ en 0).
• Dérivable $\Rightarrow$ continue.

Points-clés

• Continuité en $a$ : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Fonctions usuelles + opérations : continuité "gratuite".
• TVI + stricte monotonie = existence ET unicité d'une solution.
• Toujours vérifier les 3 hypothèses (continuité, monotonie, changement de signe) avant d'invoquer le corollaire.