Mouvement dans un champ uniforme

Mouvement dans un champ uniforme

Cadre

Champ uniforme = vecteur constant en tout point. Cas typiques : champ de pesanteur (chute), champ électrique (entre plaques de condensateur).

Méthode générale

1. Système, référentiel galiléen, bilan des forces.
2. Deuxième loi de Newton : $\vec{a} = \vec{F}/m$.
3. Intégration → $\vec{v}(t)$ → $\vec{r}(t)$ avec conditions initiales.
4. Équation de la trajectoire (éliminer $t$).

Chute libre avec vitesse initiale

Pesanteur seule : $\vec{a} = \vec{g}$. Avec $\vec{v}_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale :

• $v_x(t) = v_0 \cos\alpha$, $v_y(t) = -gt + v_0 \sin\alpha$.
• $x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t$, $y(t) = -\tfrac{1}{2}g t^2 + v_0 \sin\alpha \cdot t + y_0$.
• Trajectoire parabolique : $y(x) = -\dfrac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + \tan\alpha \cdot x + y_0$.
• Portée maximale pour $\alpha = 45°$ : $x_{max} = v_0^2/g$.
• Flèche : $h = v_0^2 \sin^2\alpha / (2g)$.

Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Entre 2 plaques distantes de $d$, tension $U$ : $E = U/d$. Force $\vec{F} = q\vec{E}$ → déviation parabolique (analogue à la chute). Énergie cinétique acquise sur une distance $d$ : $E_c = qU$.

Applications

• Balistique (artillerie, sport, jets d'eau).
• Oscilloscope cathodique, tube TV ancien.
• Spectromètre de masse : déflexion proportionnelle à $q/m$.
• Imprimante à jet d'encre, accélérateurs de particules.

Limites

Modèle néglige : frottements de l'air (paraboles "tronquées" pour les projectiles rapides), variations de $\vec{g}$ (négligeable à courte distance), effets relativistes (vitesses > 0,1 c).