Mécanique : statique

Mécanique — Statique

Objet de la statique

La statique étudie les systèmes en équilibre (au repos ou en mouvement uniforme). Elle permet de déterminer les efforts inconnus dans les liaisons et de dimensionner mécaniquement les pièces (poutres, arbres, boulons).

Principe fondamental de la statique (PFS)

Un solide (ou un système) est en équilibre si et seulement si :

1. La résultante des forces appliquées est nulle : $\sum \vec{F} = \vec{0}$
2. Le moment résultant en un point O est nul : $\sum \vec{M}_O = \vec{0}$

Ces deux équations vectorielles fournissent 6 équations scalaires en 3D (3 pour les forces, 3 pour les moments) et 3 en 2D (2 forces + 1 moment).

Notion de moment

Le moment d'une force $\vec{F}$ appliquée en un point A par rapport à un point O est : $\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{OA} \wedge \vec{F}$ En 2D, $|M_O| = F \cdot d$ où $d$ est la distance perpendiculaire (bras de levier).

Modélisation des liaisons parfaites

Liaison	Degrés bloqués	Actions transmises 2D
Appui simple / ponctuel	1 (Y)	$\vec{R}_y$
Pivot	2 (X, Y)	$\vec{R}_x, \vec{R}_y$
Glissière	2 (Y et rot)	$\vec{R}_y, M$
Encastrement	3 (X, Y, rot)	$\vec{R}_x, \vec{R}_y, M$
Rotule (3D)	3 (X, Y, Z)	3 composantes

Méthode de résolution

1. Isoler le solide : dessiner le solide seul.
2. Bilan des actions extérieures (BAME) : poids, liaisons, forces appliquées.
3. Appliquer le PFS : écrire les équations scalaires.
4. Résoudre le système linéaire.
5. Vérifier le signe et l'ordre de grandeur.

Exemple : poutre sur deux appuis

Poutre horizontale AB de longueur $L=4\,\text{m}$, appuyée en A (appui simple) et B (pivot). Charge concentrée $F=1000\,\text{N}$ vers le bas au milieu.

• $\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot L - F \cdot L/2 = 0 \Rightarrow R_B = F/2 = 500\,\text{N}$.
• $\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - F = 0 \Rightarrow R_A = 500\,\text{N}$.

Cas isostatique / hyperstatique

• Isostatique : nombre d'inconnues de liaison = nombre d'équations PFS → résolution directe.
• Hyperstatique : plus d'inconnues → il faut ajouter des équations de déformation (RDM).

Application au dimensionnement

Une fois les efforts calculés, on vérifie que les contraintes internes restent inférieures à la limite admissible : $\sigma_{\max} \leq \dfrac{R_e}{s}$ avec $s$ coefficient de sécurité (Eurocode 3 : 1,15 pour acier ; RDM classique : 1,5 à 3).

Erreurs fréquentes

• Oublier le poids propre du solide.
• Se tromper de bras de levier (utiliser la distance perpendiculaire).
• Confondre équilibre translation ↔ rotation.
• Ne pas orienter les forces (signes).

À retenir

• PFS = $\sum \vec F = 0$ et $\sum \vec M = 0$.
• Bras de levier = distance perpendiculaire.
• Isoler → BAME → équations → résolution → vérification.