Mécanique : résistance des matériaux (RDM)

Introduction

La résistance des matériaux (RDM) permet de dimensionner les pièces mécaniques pour qu'elles résistent aux sollicitations (traction, compression, cisaillement, flexion, torsion) tout en minimisant la masse et le coût.

Sollicitations élémentaires

• Traction / Compression : effort normal $N$ le long de la pièce.
• Cisaillement : effort tangentiel $T$.
• Flexion : moment $M_f$ créant courbure et flèche.
• Torsion : moment $M_t$ autour de l'axe (arbres de transmission).

Contraintes et déformations

$$\sigma = \frac{N}{S} \quad ; \quad \tau = \frac{T}{S} \quad ; \quad \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Loi de Hooke

$$\sigma = E\,\varepsilon$$

Modules courants :

• Acier : $E = 210\ \text{GPa}$.
• Aluminium : $E = 70\ \text{GPa}$.
• Bois : $E \approx 11\ \text{GPa}$.
• CFRP unidirectionnel : $E \approx 130-230\ \text{GPa}$.

Torsion (arbre plein cylindrique)

$$\tau_{max} = \frac{M_t}{I_p/r} = \frac{16\,M_t}{\pi d^3}$$ $$\theta = \frac{M_t \cdot L}{G \cdot I_p}$$

$G$ = module de cisaillement (acier ≈ 80 GPa).

Flexion

$$\sigma_{max} = \frac{M_f}{W}$$

Pour un rectangle $b \times h$ : $W = bh^2/6$.

Flèche poutre bi-appuyée charge répartie q :

$$f = \frac{5qL^4}{384EI}$$

Flambement d'Euler

$$N_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_f^2}$$

Longueurs de flambement : $L_f = L$ (bi-articulé), $0{,}5L$ (bi-encastré), $2L$ (encastré-libre).

Exemple : bielle en traction

• Aluminium 6082 T6 : $R_e = 250$ MPa, section 20 × 5 = 100 mm².
• Charge N = 8 kN.
• $\sigma = 80\ \text{MPa}$, FS = 3,1 → OK avec marge.

Exemple : arbre de transmission

• Diamètre 25 mm, couple 60 N·m, acier XC38 $R_e = 400$ MPa.
• $\tau = 16 \times 60\,000 / (\pi \times 25^3) = 19{,}5\ \text{MPa}$.
• Cisaillement admissible $\tau_a \approx R_e/2\sqrt{3} \approx 115$ MPa → OK.

Critères de dimensionnement

• Statique : $\sigma_{max} \leq R_e/\gamma$ (γ coefficient sécurité 2 à 4).
• Fatigue (Wöhler) : durée de vie N cycles à contrainte alternée.
• Flèche admissible : L/300 (mécanique courante) à L/1000 (rails précis).

Exemple chiffré 1 — tirant en traction

Un tirant acier S235 ($R_e = 235$ MPa, $E = 210$ GPa) de section carrée 20 x 20 mm supporte $N = 40$ kN.

$\sigma = \frac{N}{S} = \frac{40\,000}{400 \times 10^{-6}} = 100\ \text{MPa}$

Coefficient de sécurité : $s = R_e/\sigma = 235/100 = 2{,}35$ — acceptable (usuel : $s \ge 2$ en construction mécanique, $s \ge 3$ pour un organe de levage).

Allongement pour $L_0 = 1{,}5$ m : $\Delta L = \dfrac{\sigma L_0}{E} = \dfrac{100 \times 1{,}5}{210\,000} = 0{,}71$ mm.

Exemple chiffré 2 — poutre en flexion

Poutre IPE 100 en appui simple, portée $L = 2$ m, charge centrée $F = 5$ kN. Module de flexion $I_{Gz}/v = 34{,}2\ \text{cm}^3$, $I_{Gz} = 171\ \text{cm}^4$.

$M_{f\max} = \frac{FL}{4} = \frac{5\,000 \times 2}{4} = 2\,500\ \text{N·m}$

$\sigma_{\max} = \frac{M_{f\max}}{I_{Gz}/v} = \frac{2\,500}{34{,}2 \times 10^{-6}} = 73\ \text{MPa} < 235\ \text{MPa}$

Flèche : $f = \dfrac{FL^3}{48EI} = \dfrac{5\,000 \times 8}{48 \times 210 \times 10^9 \times 171 \times 10^{-8}} = 2{,}3$ mm, soit $L/870$ — conforme au critère courant $f \le L/300$ (Eurocode 3, ELS).

Exemple chiffré 3 — arbre en torsion

Arbre plein $d = 30$ mm transmettant $P = 7{,}5$ kW à $N = 1\,500$ tr/min.

$M_t = \frac{P}{\omega} = \frac{7\,500}{2\pi \times 25} = 47{,}7\ \text{N·m} \quad ; \quad \frac{I_0}{v} = \frac{\pi d^3}{16} = 5\,301\ \text{mm}^3$

$\tau_{\max} = \frac{M_t}{I_0/v} = \frac{47\,700}{5\,301} = 9{,}0\ \text{MPa}$

Très faible devant $R_{eg} \approx 0{,}5\,R_e \approx 117$ MPa : l'arbre est ici dimensionné par la rigidité (angle de torsion) et la fatigue, pas par la contrainte statique.

Ordres de grandeur à mémoriser

Matériau	$E$ (GPa)	$R_e$ (MPa)	$\rho$ (kg/m³)
Acier S235	210	235	7 850
Alu 6060 T6	69	150	2 700
Fonte EN-GJL-250	110	250 (Rm)	7 200
Composite verre/époxy	25-40	300-500	1 900
Bois lamellé-collé GL24h	11,5	24 (flexion)	420

Points-clés à retenir

• Dimensionner = comparer $\sigma_{\max}$ à $R_{pe} = R_e/s$, puis vérifier la flèche (critère de service).
• La flexion varie en $L^3$ pour la flèche : doubler la portée multiplie la flèche par 8.
• À masse égale, augmenter la hauteur de la section est bien plus efficace que sa largeur ($I \propto b h^3/12$).