Mécanique : lois de Newton et énergie

Mécanique : lois de Newton et énergie

1. Rappels cinématiques

Le mouvement d'un point est décrit dans un référentiel par sa position $\vec r(t)$, sa vitesse $\vec v = d\vec r/dt$ et son accélération $\vec a = d\vec v/dt$.

• Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : $\vec a=\vec 0$, $v=cste$, $x(t)=x_0+v t$.
• Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) : $\vec a=cste$, $v(t)=v_0+at$, $x(t)=x_0+v_0 t+\tfrac12 a t^2$.

Ordres de grandeur : accélération de la pesanteur $g=9{,}81$ m/s² ; freinage d'urgence d'une voiture ~7 m/s² ; TGV démarre à ~0,5 m/s².

2. Les trois lois de Newton

Première loi (principe d'inertie). Dans un référentiel galiléen, si $\sum\vec F=\vec 0$, alors le mouvement est rectiligne uniforme (ou repos).

Deuxième loi (PFD). $\sum\vec F = m\vec a$. Les forces sont la cause de la variation du mouvement. Unités : N = kg·m/s².

Troisième loi (action-réaction). Si un corps A exerce une force $\vec F_{A\to B}$ sur B, alors B exerce $\vec F_{B\to A}=-\vec F_{A\to B}$. Ces forces s'appliquent sur des corps différents (elles ne se compensent donc jamais sur un même solide).

3. Forces usuelles

Force	Expression	Remarques
Poids	$\vec P = m\vec g$, $P=mg$	Toujours vertical vers le bas
Réaction du support	$\vec R$	Normale + éventuellement frottement
Frottement solide	$f \le \mu R_N$	$\mu$ : coef. de frottement
Frottement fluide	$\vec f = -k\vec v$ ou $-k v \vec v$	Faible / grande vitesse
Tension d'un fil	$\vec T$ le long du fil	Fil idéal : $T$ uniforme
Force élastique	$\vec F=-k(x-x_0)\vec u_x$	Ressort de raideur $k$ (N/m)

4. Méthode générale de résolution

1. Choisir le référentiel (galiléen).
2. Faire l'inventaire des forces (bilan) et le schéma vectoriel.
3. Appliquer $\sum\vec F=m\vec a$ et projeter sur des axes adaptés.
4. Intégrer pour obtenir $v(t)$ puis $x(t)$.

Exemple. Une caisse de 20 kg est poussée horizontalement par $F=100$ N sur un sol de coefficient de frottement $\mu=0{,}3$. Frottement : $f=\mu m g = 0{,}3\times 20\times 9{,}81\approx 58{,}9$ N. Résultante : $F-f=41{,}1$ N. Accélération : $a=41{,}1/20\approx 2{,}06$ m/s².

5. Travail et énergie

Travail d'une force constante sur un déplacement $\vec{AB}$ : $W_{AB}(\vec F)=\vec F\cdot\vec{AB}=F\cdot d\cdot\cos\alpha$ Unité : joule (J). Le travail est moteur si $\alpha<90°$, résistant si $\alpha>90°$, nul si $\vec F\perp\vec v$.

Énergie cinétique : $E_c=\tfrac12 m v^2$.

Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = \sum W(\vec F_{ext})$.

Énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp}=m g z$ (référence choisie librement).

Énergie mécanique : $E_m=E_c+E_{pp}$. Conservée en l'absence de frottements ; sinon $\Delta E_m = W_{\text{non conservatives}}<0$.

6. Puissance

$P = \dfrac{W}{\Delta t}=\vec F\cdot\vec v$ Unité : watt (W). Utile pour dimensionner un moteur, un convoyeur, un ascenseur.

Exemple. Un ascenseur soulève une charge de 800 kg à $v=2$ m/s : $P=mgv=800\times 9{,}81\times 2\approx 15{,}7$ kW.

Rendement : $\eta = P_{utile}/P_{absorbée}$. Un moteur électrique moderne : 90–95 %. Une chaîne complète (moteur + réducteur + treuil) : 70–80 %.

7. Application STI2D : freinage d'un véhicule

Voiture de 1 200 kg à 90 km/h (25 m/s). Énergie cinétique à dissiper : $E_c=\tfrac12\times 1200\times 25^2=375\,000\ \text{J}=375\ \text{kJ}$

Sur une distance $d$ de freinage avec force $F$ constante : $F=E_c/d$. Pour $d=40$ m : $F=9\,375$ N (soit ~9,5 kN convertis en chaleur dans les disques). C'est ce qui justifie le refroidissement des freins et la récupération d'énergie sur véhicule électrique.

À retenir

• $\sum\vec F=m\vec a$ : la loi centrale.
• Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c=\sum W$.
• Frottements dissipent, transforment $E_m$ en chaleur.
• $P=Fv$ dimensionne moteur, treuil, propulsion.