Limites de fonctions : approfondissement

Limites de fonctions — approfondissement

1. Cadre général

Soit $f: I \to \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet la limite $\ell\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ en $a$ si : $\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon.$

2. Opérations sur les limites

Sommes, produits, quotients : valables hors formes indéterminées : $\infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ \dfrac{0}{0},\ \dfrac{\infty}{\infty},\ 1^{\infty},\ 0^0,\ \infty^0.$

3. Techniques de levée d'indétermination

• Factorisation par le terme dominant : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+5}=2$.
• Quantité conjuguée : $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to 0$.
• Croissances comparées : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0\ (\alpha>0).$

4. Asymptotes

• Horizontale : $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$.
• Verticale : $\lim_{x\to a}|f(x)|=+\infty$.
• Oblique : $f(x)=ax+b+\varepsilon(x)$ avec $\varepsilon(x)\to 0$. Méthode : calculer $a=\lim f(x)/x$ puis $b=\lim (f(x)-ax)$.

5. Exemple complet

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$. Division : $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$. Asymptote oblique $y=x+1$ ; verticale $x=1$.