Vecteurs, droites et plans de l'espace

Vecteurs, droites et plans de l'espace

I. Vecteurs de l'espace

Un vecteur $\vec{u}$ a trois coordonnées $(x, y, z)$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Colinéarité

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \exists k \in \mathbb{R}, \vec{v} = k\vec{u}$.

Coplanarité

Trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires s'il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

II. Représentation paramétrique d'une droite

Droite passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ : $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

III. Équation cartésienne d'un plan

Plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ passant par $A$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$

IV. Positions relatives

• Deux droites : confondues, parallèles, sécantes, non coplanaires.
• Droite et plan : incluse, parallèle (intersection vide), sécante (un point).

Exercice

Soit $A(1,2,3)$, $B(2,0,1)$, $C(0,1,-1)$. Donner une équation du plan $(ABC)$.

Indication : calculer $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ (produit vectoriel hors-programme, mais on peut chercher $\vec{n}$ orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ par système).