Récurrence et suites

Récurrence et suites — cours complet\n\n## Lire l’évolution d’une quantité\nLes fonctions, suites, exponentielles, logarithmes et équations différentielles servent à décrire une évolution : population, température, capital, concentration, vitesse, charge d’un condensateur ou croissance d’un phénomène. Le but n’est pas seulement de calculer : il faut interpréter le sens des variations.\n\n## Définitions et résultats\n- La dérivée $f'(x)$ mesure une variation instantanée : si $f'>0$, la fonction augmente ; si $f'<0$, elle diminue.\n- La convexité se lit avec $f''$ : si $f''>0$, la courbe est convexe ; si $f''<0$, elle est concave.\n- L’exponentielle vérifie $e^{a+b}=e^ae^b$ et $(e^u)'=u'e^u$. Elle modélise naturellement les croissances proportionnelles.\n- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle : $\\ln(ab)=\\ln a+\\ln b$ et $(\\ln u)'=\\frac{u'}{u}$.\n- Une suite arithmétique ajoute une constante ; une suite géométrique multiplie par une constante.\n\n## Méthode type bac\n1. Identifier la variable : rang $n$, temps $t$, abscisse $x$, quantité physique.\n2. Construire le modèle : fonction explicite, récurrence, équation différentielle ou tableau de variations.\n3. Étudier signe, limite, dérivée ou rapport selon la question.\n4. Conclure dans le contexte : seuil atteint, stabilité, croissance, décroissance, valeur maximale.\n\n## Exemple concret\nUne batterie se décharge souvent selon un modèle exponentiel $Q(t)=Q_0e^{-kt}$. Si $Q_0=100$ et $k=0,08$, alors $Q(10)=100e^{-0,8}\\approx44,9$. Le modèle indique qu’il reste environ 45 % de charge après 10 unités de temps.\n\n## Pièges fréquents\nConfondre $e^{a+b}$ avec $e^a+e^b$ ; oublier le domaine de $\\ln(x)$ ; conclure sur les variations sans tableau de signes ; donner une limite sans expliquer son sens concret.