Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Définition

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ est le réel :

$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz'$

Équivalent géométrique : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos(\vec{u},\vec{v})$.

Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Propriétés fondamentales

• Symétrie : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$
• Bilinéarité : $(\alpha\vec{u}+\vec{w})\cdot\vec{v} = \alpha(\vec{u}\cdot\vec{v}) + \vec{w}\cdot\vec{v}$
• Carré scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$
• Orthogonalité : $\vec{u}\perp\vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0$
• Identité de polarisation : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \tfrac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)$

Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

Un plan $\mathcal{P}$ est entièrement caractérisé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)\neq\vec{0}$.

$M(x;y;z)\in\mathcal{P} \Longleftrightarrow \vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0$

D'où l'équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$ avec $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$.

Exemple. Plan passant par $A(1;2;-1)$ et normal $\vec{n}(2;-1;3)$ : $2(x-1)-1(y-2)+3(z+1)=0 \Rightarrow 2x-y+3z+3=0$.

Distance d'un point à un plan

$d(M_0,\mathcal{P}) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Exemple. Distance de $M_0(0;0;0)$ au plan $2x-y+3z+3=0$ : $d = \frac{|3|}{\sqrt{4+1+9}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0{,}80$.

Projections et applications

• Projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ : $H = M - d(M,\mathcal{P})\,\dfrac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}$ (signe selon le côté).
• Angle entre deux plans : $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\,\|\vec{n_2}\|}$.
• Intersection droite/plan : injecter la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan.

Méthode type bac

1. Identifier un vecteur normal (produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan, ou lecture directe).
2. Écrire l'équation $ax+by+cz+d=0$.
3. Utiliser la formule de distance ou le produit scalaire pour conclure (orthogonalité, angle, projeté).

À retenir

• Coordonnées : $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ ; norme : $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
• Un plan = un point + un vecteur normal.
• La distance à un plan divise par la norme du vecteur normal.
• Orthogonalité $\Leftrightarrow$ produit scalaire nul (tester très souvent au bac).