Exponentielle et logarithme

En clair. Définitions, propriétés, applications.

Ce qu'on te demande au bac (Option Maths Complémentaires) : maîtriser le vocabulaire de « Exponentielle et logarithme », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Exponentielle et logarithme — cours complet\n\n## Lire l’évolution d’une quantité\nLes fonctions, suites, exponentielles, logarithmes et équations différentielles servent à décrire une évolution : population, température, capital, concentration, vitesse, charge d’un condensateur ou croissance d’un phénomène. Le but n’est pas seulement de calculer : il faut interpréter le sens des variations.\n\n## Définitions et résultats\n- La dérivée $f'(x)$ mesure une variation instantanée : si $f'>0$, la fonction augmente ; si $f'<0$, elle diminue.\n- La convexité se lit avec $f''$ : si $f''>0$, la courbe est convexe ; si $f''<0$, elle est concave.\n- L’exponentielle vérifie $e^{a+b}=e^ae^b$ et $(e^u)'=u'e^u$. Elle modélise naturellement les croissances proportionnelles.\n- Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle : $\\ln(ab)=\\ln a+\\ln b$ et $(\\ln u)'=\\frac{u'}{u}$.\n- Une suite arithmétique ajoute une constante ; une suite géométrique multiplie par une constante.\n\n## Méthode type bac\n1. Identifier la variable : rang $n$, temps $t$, abscisse $x$, quantité physique.\n2. Construire le modèle : fonction explicite, récurrence, équation différentielle ou tableau de variations.\n3. Étudier signe, limite, dérivée ou rapport selon la question.\n4. Conclure dans le contexte : seuil atteint, stabilité, croissance, décroissance, valeur maximale.\n\n## Exemple concret\nUne batterie se décharge souvent selon un modèle exponentiel $Q(t)=Q_0e^{-kt}$. Si $Q_0=100$ et $k=0,08$, alors $Q(10)=100e^{-0,8}\\approx44,9$. Le modèle indique qu’il reste environ 45 % de charge après 10 unités de temps.\n\n## Pièges fréquents\nConfondre $e^{a+b}$ avec $e^a+e^b$ ; oublier le domaine de $\\ln(x)$ ; conclure sur les variations sans tableau de signes ; donner une limite sans expliquer son sens concret.