Fonctions logarithme et exponentielle (révisions)

En clair. Définitions, propriétés et applications en sciences sociales et économiques.

Ce qu'on te demande au bac (Option Maths Complémentaires) : maîtriser le vocabulaire de « Fonctions logarithme et exponentielle (révisions) », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Logarithme et exponentielle

I. Fonction exponentielle

• Définie sur $\mathbb{R}$, $\exp(0)=1$, $\exp'(x)=\exp(x)$.
• $e^{a+b} = e^a \times e^b$ ; $e^{-a} = 1/e^a$ ; $(e^a)^n = e^{na}$.
• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

II. Fonction logarithme népérien

• Définie sur $]0;+\infty[$, réciproque de l'exponentielle.
• $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln'(x)=1/x$.
• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n \ln a$.

III. Modèles à croissance exponentielle

$f(t) = f_0 \times e^{kt}$

• $k>0$ : croissance ; $k<0$ : décroissance.
• Demi-vie : $T = \ln 2 / |k|$.
• Application : intérêts composés, démographie, datation au carbone 14.

IV. Échelles logarithmiques

Utiles pour des grandeurs très variables :

• pH = $-\log[H^+]$.
• dB acoustique.
• Échelle de Richter (séismes).
• Graphiques semi-log : une exponentielle devient une droite.

V. Exercice type

La population d'une ville suit $N(t) = 12000 \times e^{0{,}02t}$ avec $t$ en années.

1. Population initiale : 12 000.
2. Au bout de 10 ans : $N(10) = 12000 \times e^{0{,}2} \approx 14655$.
3. Temps pour doubler : $T = \ln 2 / 0{,}02 \approx 34{,}66$ ans.