Fonctions logarithme et exponentielle (révisions)

Logarithme et exponentielle

I. Fonction exponentielle

• Définie sur $\mathbb{R}$, $\exp(0)=1$, $\exp'(x)=\exp(x)$.
• $e^{a+b} = e^a \times e^b$ ; $e^{-a} = 1/e^a$ ; $(e^a)^n = e^{na}$.
• $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

II. Fonction logarithme népérien

• Définie sur $]0;+\infty[$, réciproque de l'exponentielle.
• $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln'(x)=1/x$.
• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n \ln a$.

III. Modèles à croissance exponentielle

$f(t) = f_0 \times e^{kt}$

• $k>0$ : croissance ; $k<0$ : décroissance.
• Demi-vie : $T = \ln 2 / |k|$.
• Application : intérêts composés, démographie, datation au carbone 14.

IV. Échelles logarithmiques

Utiles pour des grandeurs très variables :

• pH = $-\log[H^+]$.
• dB acoustique.
• Échelle de Richter (séismes).
• Graphiques semi-log : une exponentielle devient une droite.

V. Exercice type

La population d'une ville suit $N(t) = 12000 \times e^{0{,}02t}$ avec $t$ en années.

1. Population initiale : 12 000.
2. Au bout de 10 ans : $N(10) = 12000 \times e^{0{,}2} \approx 14655$.
3. Temps pour doubler : $T = \ln 2 / 0{,}02 \approx 34{,}66$ ans.