Calcul intégral

Calcul intégral

I. Primitives

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$. Deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles :

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$, $n \neq -1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$

II. Intégrale

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (théorème fondamental du calcul).

III. Propriétés

• Linéarité : $\int (\lambda f + \mu g) = \lambda \int f + \mu \int g$.
• Chasles : $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$.
• Inégalité : si $f \leq g$ alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$.

IV. Intégration par parties

$\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx$ Exemple : $\int_0^1 x e^x dx$. Posons $u = x$, $v' = e^x$, alors $u' = 1$, $v = e^x$. $\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$.

V. Applications

• Aire sous une courbe positive.
• Volume d'un solide de révolution : $V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$.
• Valeur moyenne : $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.
• Probabilités continues : $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$ pour une densité $f$.