Système du second ordre

Système du second ordre

Définition

Fonction de transfert canonique : $H(p) = \frac{K \omega_0^2}{p^2 + 2\xi\omega_0 p + \omega_0^2} = \frac{K}{1 + \frac{2\xi}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$

• $K$ : gain statique.
• $\omega_0$ : pulsation propre (rad/s).
• $\xi$ : coefficient d'amortissement (sans unité).

Nature de la réponse selon $\xi$

$\xi$	Nature	Réponse à un échelon
$\xi = 0$	non amorti	oscille sans fin à $\omega_0$
$0 < \xi < 1$	sous-amorti	dépasse et oscille avant de se stabiliser
$\xi = 1$	critique	rejoint la consigne sans dépassement, le plus rapide
$\xi > 1$	sur-amorti	rejoint lentement sans dépassement

Grandeurs caractéristiques (régime sous-amorti)

• Pulsation propre amortie : $\omega_a = \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2}$.
• Pseudo-période : $T_a = 2\pi/\omega_a$.
• Premier dépassement : $D_1 = e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$ (en fraction, ×100 pour %).
• Temps de réponse à 5 % : $t_{r5\%} \approx 3/(\xi\omega_0)$ pour $\xi \leq 0{,}7$.

Valeurs remarquables

• $\xi = 0{,}7$ : dépassement ≈ 5 %, temps de réponse minimum → optimum industriel.
• $\xi = 1$ : dépassement 0 %.
• $\xi = 0{,}5$ : dépassement 16 %.
• $\xi = 0{,}1$ : dépassement 73 %.

Exemples physiques

• Suspension automobile : masse + ressort + amortisseur. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $\xi = c/(2\sqrt{km})$.
• Circuit RLC série : $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $\xi = \dfrac{R}{2}\sqrt{C/L}$.
• Système masse-ressort mécanique.

Réponse fréquentielle

• Gain : $G(\omega) = \dfrac{K}{\sqrt{(1-\omega^2/\omega_0^2)^2 + (2\xi\omega/\omega_0)^2}}$.
• Résonance si $\xi < 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$, pulsation de résonance $\omega_r = \omega_0\sqrt{1-2\xi^2}$.
• Aux hautes fréquences : pente $-40\,\text{dB/dec}$, phase $-180°$.

Exemple chiffré : suspension voiture

Masse par roue $m = 250\,\text{kg}$, ressort $k = 20\,000\,\text{N/m}$, amortisseur $c = 1\,500\,\text{N·s/m}$.

• $\omega_0 = \sqrt{20000/250} = 8{,}9\,\text{rad/s}$ → fréquence 1,4 Hz.
• $\xi = 1500/(2\sqrt{20000 \times 250}) = 0{,}34$ → sous-amortie, dépassement 33 %.
• Idéal confort : $\xi \approx 0{,}25$ ; idéal tenue de route : $\xi \approx 0{,}7$.

À retenir

• 3 paramètres : $K, \omega_0, \xi$.
• $\xi = 0{,}7$ = optimum rapidité + faible dépassement.
• Dépassement croît quand $\xi$ diminue.
• $t_{r5\%} \approx 3/(\xi\omega_0)$.