Système du premier ordre

Système du premier ordre

Définition

Un système du premier ordre est régi par une équation différentielle linéaire du 1ᵉʳ ordre : $\tau \frac{dy}{dt} + y(t) = K \cdot e(t)$ Sa fonction de transfert est : $H(p) = \frac{Y(p)}{E(p)} = \frac{K}{1 + \tau p}$

• $K$ : gain statique (rapport sortie/entrée en régime permanent).
• $\tau$ : constante de temps (s), traduit la rapidité du système.

Exemples physiques

• Charge d'un condensateur via une résistance : $\tau = RC$.
• Refroidissement d'un objet (Newton) : $\tau = mc/(hS)$.
• Régime transitoire d'un moteur DC en vitesse (approximation) : $\tau = J R_a / (K_e K_m)$.

Réponse à un échelon

Pour une entrée $e(t) = E_0 \cdot u(t)$ (échelon), la sortie vaut : $y(t) = K E_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

• Valeur finale : $y(\infty) = K E_0$.
• À $t = \tau$ : $y = 63{,}2\,\% \cdot y(\infty)$.
• À $t = 3\tau$ : $y = 95\,\% \cdot y(\infty)$ → temps de réponse à 5 % : $t_{r5\%} \approx 3\tau$.
• À $t = 5\tau$ : $y \approx 99\,\%$.

Réponse à une rampe

Entrée $e(t) = a \cdot t$ : la sortie suit avec un retard constant $\tau$. Erreur permanente : $\varepsilon_\infty = K a \tau$.

Diagramme de Bode

• Gain : $G(\omega) = \dfrac{K}{\sqrt{1 + (\tau\omega)^2}}$, tracé en dB : $G_{dB} = 20\log K - 10\log(1 + (\tau\omega)^2)$.
• Aux basses fréquences : palier à $20\log K$.
• À $\omega = 1/\tau$ (pulsation de coupure) : gain chute de 3 dB.
• Aux hautes fréquences : pente de $-20\,\text{dB/dec}$.
• Phase : $\varphi(\omega) = -\arctan(\tau\omega)$, tend vers $-90°$.

Identification expérimentale

1. Appliquer un échelon $E_0$.
2. Mesurer la valeur finale $y_\infty$ → $K = y_\infty / E_0$.
3. Repérer l'instant où $y = 0{,}632 \cdot y_\infty$ → $\tau$ lu directement.

Exemple chiffré

Un four modélisé par $H(p) = \dfrac{5}{1 + 120 p}$ soumis à une consigne échelon de 20 % (entrée = 0,20).

• Valeur finale : $y_\infty = 5 \times 0{,}20 = 1{,}0$ (soit +100 °C).
• Temps de réponse à 5 % : $3\tau = 360\,\text{s} = 6\,\text{min}$.
• Constante de temps : 120 s.

En boucle fermée avec correcteur P

FTBF = $\dfrac{K K_p}{1 + K K_p + \tau p}$. La constante de temps devient $\tau' = \tau/(1 + K K_p)$. Un gain proportionnel divise ainsi le temps de réponse mais laisse une erreur statique $\varepsilon_\infty = 1/(1 + K K_p)$.

À retenir

• $H(p) = K/(1 + \tau p)$.
• $y(t) = KE_0(1 - e^{-t/\tau})$.
• $t_{r5\%} \approx 3\tau$, phase asymptotique $-90°$.
• Un P en BF accélère mais laisse une erreur statique ; ajouter un I pour l'annuler.