Régulation PID

Régulation PID

Principe

Un correcteur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) est le régulateur le plus utilisé en industrie (>90 % des boucles). Il combine trois actions : $u(t) = K_p \, \varepsilon(t) + K_i \int_0^t \varepsilon(\tau)\,d\tau + K_d \frac{d\varepsilon(t)}{dt}$

Sa fonction de transfert : $C(p) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$ avec $K_i = K_p/T_i$ et $K_d = K_p T_d$.

Rôle de chaque action

Proportionnel (P)

• Réaction immédiate proportionnelle à l'erreur.
• Augmenter $K_p$ accélère et diminue l'erreur statique mais peut déstabiliser.
• Ne peut pas annuler l'erreur statique seule.

Intégral (I)

• Cumule l'erreur → annule l'erreur statique en régime permanent.
• Introduit un déphasage de $-90°$ → risque d'oscillation/instabilité.
• Réglé par $T_i$ (temps d'intégration).

Dérivé (D)

• Anticipe l'évolution de l'erreur → améliore la stabilité et diminue le dépassement.
• Sensible au bruit → toujours filtrer (dérivée filtrée : $\frac{T_d p}{1 + T_d p / N}$, $N \approx 10$).

Combinaisons courantes

• P : rapide, écart statique. Cas simples.
• PI : le plus fréquent en régulation de température, débit, niveau.
• PID : quand rapidité + précision + rejet perturbations.
• PD : servos rapides (position moteur).

Méthodes de réglage

Ziegler-Nichols (BF, méthode oscillatoire)

1. Mettre uniquement l'action P, augmenter $K_p$ jusqu'à obtenir des oscillations soutenues.
2. Noter le gain critique $K_u$ et la période $T_u$.
3. Appliquer : | Correcteur | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ | |---|---|---|---| | P | $0{,}5\,K_u$ | – | – | | PI | $0{,}45\,K_u$ | $0{,}83\,T_u$ | – | | PID | $0{,}6\,K_u$ | $0{,}5\,T_u$ | $0{,}125\,T_u$ |

Broida (BO, réponse à un échelon)

À partir de la réponse indicielle d'un procédé assimilé à un $1^{er}$ ordre + retard : identifier $K$, $\tau$, retard $\theta$, puis appliquer des tables.

Exemple d'application

Régulation de température d'une PAC pilotée par un STM32 :

• Sonde : NTC 10 kΩ, lecture toutes les 500 ms.
• Consigne : 55 °C. Procédé identifié : $K = 2$, $\tau = 300\,\text{s}$, $\theta = 60\,\text{s}$.
• Broida PI : $K_p = 0{,}8 \cdot \tau/(K\theta) = 0{,}8 \times 300/(2 \times 60) = 2$, $T_i = \tau = 300\,\text{s}$.
• Sortie : PWM 0-100 % pilotant le compresseur.

Cas d'échec fréquents

• Sursaut trop grand : baisser $K_p$ ou augmenter $T_d$.
• Oscillations : baisser $K_p$ ou augmenter $T_i$.
• Réponse trop lente : augmenter $K_p$ ou baisser $T_i$.
• Bruit amplifié : filtrer la mesure, réduire $K_d$.

À retenir

• P = réaction, I = mémoire (annule erreur statique), D = anticipation.
• Un PI couvre 80 % des cas industriels.
• Toujours régler dans l'ordre : P, puis I, puis D.