Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance — cours complet\n\n## Ce qu’on modélise\nLes probabilités permettent de raisonner dans une situation incertaine : tirages, sondages, fiabilité d’un composant, réussite à un test, contrôle qualité en laboratoire. Avant tout calcul, il faut définir l’expérience aléatoire, les événements, puis vérifier si l’on répète des essais identiques et indépendants.\n\n## Définitions et formules\n- Une probabilité est un nombre entre $0$ et $1$. $P(\\overline A)=1-P(A)$.\n- La probabilité conditionnelle vaut $P_A(B)=P(B\\mid A)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(A)}$ si $P(A)>0$.\n- Deux événements sont indépendants si $P(A\\cap B)=P(A)P(B)$.\n- Pour une loi binomiale $X\\sim\\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.\n- En statistique, une fréquence observée $f$ fluctue autour d’une proportion théorique $p$ ; plus l’échantillon est grand, plus la fluctuation diminue.\n\n## Méthode type bac\n1. Traduire l’énoncé en événements : succès, échec, condition, intersection, union.\n2. Choisir l’outil : arbre pondéré, tableau, formule des probabilités totales, binomiale, intervalle de fluctuation.\n3. Justifier l’indépendance avant d’utiliser une loi binomiale.\n4. Interpréter le résultat en phrase : une probabilité de $0,18$ signifie environ 18 chances sur 100 dans le modèle choisi.\n\n## Exemple concret\nUn capteur a une probabilité $p=0,98$ de fonctionner lors d’un test. Sur $n=20$ capteurs indépendants, si $X$ désigne le nombre de capteurs fonctionnels, alors $X\\sim\\mathcal{B}(20;0,98)$. La probabilité que tous fonctionnent vaut $0,98^{20}\\approx0,668$. Même une fiabilité individuelle élevée peut donner un risque collectif non négligeable.\n\n## Erreurs à éviter\nAdditionner des probabilités incompatibles sans vérifier que les événements sont disjoints ; confondre $P(A\\mid B)$ et $P(B\\mid A)$ ; oublier que la binomiale impose des essais indépendants et une même probabilité de succès.