Mouvements et lois de Newton

1. Décrire un mouvement avant de l'expliquer

Avant toute application des lois de Newton, il faut poser le cadre cinématique.

• Référentiel : solide de référence auquel on associe un repère d'espace et une horloge. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée ; le référentiel géocentrique convient aux satellites, le référentiel héliocentrique aux planètes.
• Vecteur position : $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$.
• Vecteur vitesse : $\vec{v} = \dfrac{d\vec{OM}}{dt}$, toujours tangent à la trajectoire.
• Vecteur accélération : $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$, dirigé vers l'intérieur de la courbure.

Un mouvement est rectiligne uniforme si $\vec{v}$ est constant en direction et en valeur ; rectiligne uniformément accéléré si $\vec{a}$ est constant et colinéaire à $\vec{v}$ ; circulaire uniforme si la valeur de la vitesse est constante mais l'accélération, non nulle, est centripète de norme $a = v^2/R$.

2. Les trois lois de Newton

Première loi (principe d'inertie) — Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système est nulle, alors son centre d'inertie est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme ; et réciproquement.

$\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v}_G = \overrightarrow{cste}$

Deuxième loi (principe fondamental de la dynamique) — Dans un référentiel galiléen :

$\sum \vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt} \quad \text{avec} \quad \vec{p} = m\vec{v}$

Si la masse est constante : $\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$. L'accélération a donc la même direction et le même sens que la résultante des forces.

Troisième loi (actions réciproques) — Si un corps A exerce sur un corps B une force $\vec{F}_{A/B}$, alors B exerce sur A une force $\vec{F}_{B/A} = -\vec{F}_{A/B}$, de même droite d'action, même norme, sens opposé. Ces deux forces s'appliquent à des systèmes différents : elles ne se compensent jamais sur un même système.

3. Méthode de résolution en cinq étapes

1. Définir le système (la balle, le skieur + les skis…) et sa masse.
2. Choisir le référentiel et justifier qu'il est galiléen.
3. Faire le bilan des forces extérieures (poids, réaction du support, tension, poussée, frottements) et les représenter.
4. Appliquer la deuxième loi puis projeter sur les axes choisis.
5. Intégrer pour obtenir $\vec{v}(t)$ puis $\vec{OM}(t)$, en utilisant les conditions initiales.

4. Application : chute avec frottement

Une bille de masse $m = 0{,}20$ kg tombe dans un fluide. Bilan : poids $\vec{P} = m\vec{g}$, poussée d'Archimède $\vec{F}_A$, frottement $\vec{f} = -k\vec{v}$.

Projection sur un axe vertical descendant :

$m\frac{dv}{dt} = mg - F_A - kv$

$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g - \frac{F_A}{m}$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre. La vitesse limite s'obtient en posant $dv/dt = 0$ :

$v_{lim} = \frac{mg - F_A}{k}$

Numériquement, avec $g = 9{,}81$ m·s⁻², $F_A = 0{,}25$ N et $k = 0{,}45$ kg·s⁻¹ : $v_{lim} = (0{,}20 \times 9{,}81 - 0{,}25)/0{,}45 = (1{,}962 - 0{,}25)/0{,}45 \approx 3{,}8$ m·s⁻¹.

Le temps caractéristique $\tau = m/k = 0{,}20/0{,}45 \approx 0{,}44$ s : au bout de $5\tau \approx 2{,}2$ s, la vitesse limite est pratiquement atteinte.

5. Application : mouvement d'un projectile

Sans frottement, seul le poids agit : $\vec{a} = \vec{g}$. Avec un lancement à la vitesse $v_0$ selon un angle $\alpha$ :

$x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t \qquad y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin\alpha \cdot t + y_0$

En éliminant $t$, on obtient l'équation de la trajectoire, une parabole. La portée maximale sur terrain plat est obtenue pour $\alpha = 45°$ et vaut $v_0^2/g$.

Exemple : un ballon lancé à $v_0 = 12$ m·s⁻¹ sous 45° porte $12^2/9{,}81 \approx 14{,}7$ m.

6. Erreurs fréquentes

• Confondre force et vitesse : un mobile peut avoir une vitesse non nulle avec une résultante nulle (mouvement rectiligne uniforme).
• Appliquer la troisième loi au même système et conclure que la somme des forces est nulle.
• Oublier de justifier le caractère galiléen du référentiel.
• Négliger les unités : $\vec{a}$ en m·s⁻², $\vec{p}$ en kg·m·s⁻¹, force en newtons.

7. À retenir

La deuxième loi de Newton relie la cause (résultante des forces) à l'effet (variation de la quantité de mouvement). Toute résolution passe par système / référentiel / bilan des forces / projection / intégration : cette rigueur méthodologique vaut autant de points que le calcul lui-même.