Mouvement dans un champ uniforme

1. Cadre

On étudie le mouvement d'une particule (masse $m$, charge $q$) dans un champ uniforme : pesanteur $\vec{g}$, électrique $\vec{E}$ ou magnétique $\vec{B}$. Le champ a même direction, sens, norme en tout point.

2. Champ de pesanteur — projectile

Système : objet de masse $m$, soumis uniquement à $\vec{P} = m\vec{g}$ (frottements négligés). PFD : $\vec{a} = \vec{g}$.

Conditions initiales : vitesse $\vec{v}_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale, position $(0,0)$.

Équations horaires : $v_x(t) = v_0\cos\alpha, \quad v_z(t) = -gt + v_0\sin\alpha$ $x(t) = v_0\cos\alpha \cdot t, \quad z(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0\sin\alpha \cdot t$

Trajectoire (parabole) : $z(x) = -\dfrac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + x \tan\alpha$.

Portée sur sol horizontal : $X = \dfrac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ (max pour $\alpha = 45°$).

Hauteur max : $z_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$.

3. Champ électrique uniforme — déviation d'une particule chargée

Entre deux plaques distantes de $d$ portées à $U$ : $\vec{E}$ uniforme, norme $E = U/d$.

Force : $\vec{F} = q\vec{E}$ → accélération $\vec{a} = q\vec{E}/m$.

Cas type : particule entrant avec $\vec{v}_0$ horizontale dans un champ vertical. Mouvement parabolique analogue à celui d'un projectile dans le champ de pesanteur. Déviation verticale en sortie :

$y = \frac{qE \ell^2}{2 m v_0^2}$

(où $\ell$ est la longueur des plaques).

Applications : tube à rayons cathodiques, oscilloscope, spectromètre de masse, imprimante à jet d'encre.

4. Lien énergétique

Théorème de l'énergie cinétique : $\tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 = qU$ (entre deux points portés à des potentiels dont la différence est $U$). Cas du canon à électrons.

5. Comparaison gravitation / électrostatique

	Pesanteur	Électrique uniforme
Force	$m\vec{g}$	$q\vec{E}$
Accélération	$\vec{g}$	$q\vec{E}/m$
Trajectoire	parabole	parabole (si $\vec{v}_0 \nparallel \vec{E}$)

À retenir

• Trajectoire d'un projectile : parabole.
• Portée max pour $\alpha = 45°$.
• Champ $E$ uniforme entre plaques : $E = U/d$.
• Spectromètres, tubes cathodiques : déviation par $\vec{E}$ ou $\vec{B}$.