Lois de Kirchhoff

Lois de Kirchhoff

Contexte

Formulées par Gustav Kirchhoff en 1845, ces deux lois permettent d'analyser tout circuit électrique linéaire en régime continu ou sinusoïdal permanent. Elles complètent la loi d'Ohm ($U = RI$) et sont indissociables du dimensionnement électrique en STI2D.

Loi des nœuds (LKC — loi de conservation du courant)

En chaque nœud d'un circuit, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants : $\sum_{\text{entrants}} I_k = \sum_{\text{sortants}} I_k \quad \Leftrightarrow \quad \sum_k \varepsilon_k I_k = 0$ où $\varepsilon_k = +1$ (entrant) ou $-1$ (sortant).

Elle traduit la conservation de la charge électrique : la charge ne peut ni s'accumuler ni disparaître en un point du circuit.

Loi des mailles (LKT — loi de conservation de la tension)

Sur toute maille (parcours fermé) orientée, la somme algébrique des tensions est nulle : $\sum_k \varepsilon_k U_k = 0$ où $\varepsilon_k = +1$ si la tension est dans le sens de parcours, $-1$ sinon.

Elle traduit la conservation de l'énergie : l'énergie fournie par les générateurs égale l'énergie dissipée/stockée par les récepteurs.

Diviseur de tension (résistances en série)

Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série soumises à $U$ : $U_{R_1} = U \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Diviseur de courant (résistances en parallèle)

Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en parallèle traversées par $I$ : $I_{R_1} = I \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Exemple chiffré

Circuit série : $U = 12\,\text{V}$, $R_1 = 100\,\Omega$, $R_2 = 200\,\Omega$.

• Courant : $I = U/(R_1 + R_2) = 12/300 = 40\,\text{mA}$.
• Tension aux bornes de $R_2$ (diviseur) : $U_{R_2} = 12 \times 200/300 = 8\,\text{V}$.
• Puissance dissipée par $R_2$ : $P = U_{R_2}^2 / R_2 = 64/200 = 0{,}32\,\text{W}$.

Circuits à plusieurs mailles

Méthode :

1. Numéroter nœuds et mailles.
2. Choisir un sens de parcours pour chaque maille.
3. Écrire LKC en chaque nœud (sauf un, redondant).
4. Écrire LKT sur chaque maille indépendante.
5. Résoudre le système linéaire.

Pour n nœuds et m mailles, on obtient $(n-1) + m$ équations pour $b$ courants de branches ($b = n - 1 + m$ dans les cas standards).

Théorèmes complémentaires

• Thévenin : tout dipôle linéaire équivaut à une source de tension $E_{th}$ en série avec une résistance $R_{th}$.
• Norton : dual, source de courant $I_N$ en parallèle avec $R_N = R_{th}$, avec $E_{th} = R_N I_N$.
• Millman : $V = \dfrac{\sum V_k/R_k}{\sum 1/R_k}$ pour un nœud commun à plusieurs branches.

Régime sinusoïdal

Les lois de Kirchhoff s'appliquent sur les grandeurs complexes $\underline{U}, \underline{I}$ avec les impédances complexes :

• Résistance : $Z_R = R$
• Bobine : $Z_L = jL\omega$
• Condensateur : $Z_C = 1/(jC\omega)$

À retenir

• LKC : loi des nœuds (conservation charge).
• LKT : loi des mailles (conservation énergie).
• Diviseurs de tension et de courant = raccourcis très utiles au bac.