Fluide en mouvement

Fluide en mouvement

Objet

La mécanique des fluides étudie le comportement des liquides et gaz en mouvement : dimensionnement de canalisations, pompes, éoliennes, réseaux d'eau chaude sanitaire. Elle s'appuie sur trois lois : conservation du débit, Bernoulli, pertes de charge.

Conservation du débit

Pour un fluide incompressible en régime permanent : $Q = S \cdot v = \text{constante}$

• $Q$ : débit volumique (m³/s).
• $S$ : section (m²).
• $v$ : vitesse (m/s).

Conséquence : en rétrécissement, $v$ augmente.

Théorème de Bernoulli (fluide parfait)

Le long d'une ligne de courant : $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}$

• $P$ : pression statique (Pa).
• $\frac{1}{2}\rho v^2$ : pression dynamique.
• $\rho g z$ : pression hydrostatique.

Application : effet Venturi, vol d'un avion, pistolet à peinture, débitmètre à venturi.

Pertes de charge

En fluide réel, il faut ajouter les pertes par frottement : $\Delta P_r = \lambda \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho v^2}{2}$

• $\lambda$ : coefficient de perte de charge (Moody, dépend du régime).
• $L$ : longueur du tube ; $D$ : diamètre.

Pertes singulières (coudes, vannes) : $\Delta P_s = K \dfrac{\rho v^2}{2}$.

Régimes d'écoulement — nombre de Reynolds

$Re = \frac{\rho v D}{\mu}$

• $Re < 2000$ : régime laminaire, $\lambda = 64/Re$.
• $Re > 4000$ : régime turbulent, $\lambda$ selon Moody-Colebrook.
• Zone 2000-4000 : transitoire.

Pour l'eau à 20 °C : $\mu \approx 10^{-3}\,\text{Pa·s}$, $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$.

Pompes

Puissance hydraulique fournie : $P_h = Q \cdot \Delta P = \rho g Q H_{\text{mano}}$ avec $H_{mano}$ hauteur manométrique (m). Puissance absorbée : $P_a = P_h / \eta_{\text{pompe}}$. Rendement typique 60-80 %.

Exemple : pompe centrifuge

Débit $Q = 20\,\text{m}^3/\text{h} = 5{,}56 \times 10^{-3}\,\text{m}^3/\text{s}$, HMT = 30 m, $\eta = 0{,}7$.

• $P_h = 1000 \times 9{,}81 \times 5{,}56 \times 10^{-3} \times 30 = 1636\,\text{W}$.
• $P_a = 1636/0{,}7 = 2337\,\text{W}$ électriques.

Applications en STI2D

• Réseau d'eau chaude sanitaire (dimensionnement DTU 60.11).
• Circuits hydrauliques de chaudière/PAC.
• Éoliennes (formule de Betz sur l'air, cas particulier de conservation du débit).
• Aérodynamique : traînée $F_x = \frac{1}{2}\rho v^2 S C_x$.

À retenir

• Débit conservé : $Q = Sv$.
• Bernoulli (fluide parfait) : $P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{cste}$.
• Perte de charge : $\Delta P = \lambda \dfrac{L}{D}\dfrac{\rho v^2}{2}$.
• Reynolds : $Re < 2000$ laminaire, $Re > 4000$ turbulent.