Dynamique d'un système électrique (RC)

En clair. Circuit RC : équation différentielle, constante de temps, charge et décharge, bilan énergétique et applications, avec exemple chiffré.

Ce qu'on te demande au bac (Spé Physique-Chimie) : maîtriser le vocabulaire de « Dynamique d'un système électrique (RC) », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

1. Le dipôle RC

Un circuit RC série associe un conducteur ohmique de résistance $R$ (Ω) et un condensateur de capacité $C$ (F) alimentés par une source de tension continue $E$.

• Charge du condensateur : $q = C\,u_C$ (q en coulombs).
• Intensité : $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$.
• Énergie stockée : $E_e = \tfrac{1}{2}C\,u_C^{\,2}$.

2. Équation différentielle de la charge

Loi des mailles : $E = u_R + u_C = Ri + u_C$, avec $i = C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ :

$RC\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$

Le produit $\tau = RC$ est la constante de temps, homogène à une seconde (Ω·F = s).

Solution (condensateur initialement déchargé) :

$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$

3. Décharge

En court-circuitant la source, l'équation devient $RC\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t + u_C = 0$, d'où

$u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$

4. Lecture de la constante de temps

Trois méthodes complémentaires sur un enregistrement :

1. Tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote $u_C = E$ à $t = \tau$.
2. 63 % : $u_C(\tau) = 0{,}63\,E$ en charge ; $0{,}37\,E$ en décharge.
3. Régime permanent atteint à $5\tau$ (99,3 %).

5. Exemple chiffré

Avec $R = 10$ kΩ, $C = 100$ µF et $E = 5{,}0$ V :

• $\tau = 10^4 \times 100\times10^{-6} = 1{,}0$ s.
• À $t = 1$ s : $u_C \approx 3{,}2$ V ; à $t = 3$ s : $u_C \approx 4{,}75$ V ; régime permanent pratique vers 5 s.
• Courant initial : $i(0) = E/R = 0{,}50$ mA.
• Énergie finale stockée : $E_e = \tfrac12 \times 100\times10^{-6}\times 5^2 = 1{,}25$ mJ.

6. Aspect énergétique

Pendant la charge, la source fournit $W = QE = CE^2$. Le condensateur n'en stocke que $\tfrac12 CE^2$ : la moitié de l'énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance, quelle que soit la valeur de $R$. C'est un résultat contre-intuitif à connaître.

7. Applications

• Temporisation : minuteries, allumage différé d'un éclairage.
• Filtrage : lissage d'une tension redressée, découplage d'alimentation.
• Anti-rebond de boutons-poussoirs en électronique numérique.
• Flash photographique : décharge rapide d'un condensateur chargé lentement.

8. Erreurs fréquentes

• Oublier que $i$ est discontinu à $t = 0$ alors que $u_C$ est continu.
• Confondre $\tau$ et le temps de charge complet (compter $5\tau$).
• Employer $u_R = R\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ sans le facteur $C$.

À retenir

• $RC\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t + u_C = E$, $\tau = RC$.
• Charge : $u_C = E(1-e^{-t/\tau})$ ; décharge : $u_C = E\,e^{-t/\tau}$.
• $u_C(\tau) = 0{,}63E$, régime permanent à $5\tau$, rendement énergétique de la charge = 50 %.