Dynamique d'un système électrique (RC)

1. Le dipôle RC

Un dipôle RC est l'association série d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$. Il sert à étudier la charge et la décharge d'un condensateur.

2. Le condensateur

• Stocke une charge $q = C \cdot u_C$.
• Énergie stockée : $E = \tfrac{1}{2} C u_C^2$.
• Intensité : $i = \dfrac{dq}{dt} = C \dfrac{du_C}{dt}$.

3. Charge sous tension constante E

Loi des mailles : $E = u_R + u_C = Ri + u_C = RC \dfrac{du_C}{dt} + u_C$.

Équation différentielle :

$\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E \quad \text{avec} \quad \tau = RC$

Solution (avec $u_C(0) = 0$) :

$u_C(t) = E \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

4. Décharge dans R

Équation : $\tau \dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0$, solution $u_C(t) = U_0 \, e^{-t/\tau}$.

5. Constante de temps τ = RC

• Unité : $\Omega \times \text{F} = \text{s}$.
• Caractérise la rapidité de la réponse.
• À $t = \tau$, $u_C$ atteint 63 % de sa valeur finale (charge) ou perd 63 % (décharge).
• À $t = 5\tau$, le régime permanent est atteint (>99 %).

6. Détermination expérimentale de τ

• Tangente à l'origine : coupe l'asymptote au temps $\tau$.
• Méthode 63 % : abscisse pour laquelle $u_C = 0{,}63 E$.
• Méthode des 5τ.

7. Bilan énergétique de la charge

Énergie fournie par le générateur : $W_g = CE^2$. Énergie stockée : $W_C = \tfrac{1}{2}CE^2$. Énergie dissipée par effet Joule dans R : $W_R = \tfrac{1}{2}CE^2$.

Rendement = 50 %, indépendant de R.

À retenir

• $\tau = RC$ exprimé en secondes.
• Charge : $u_C = E(1 - e^{-t/\tau})$.
• Décharge : $u_C = U_0 e^{-t/\tau}$.