Mécanique de Newton

1. Référentiels galiléens

Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie y est vérifié : un solide isolé y est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Référentiels usuels : Copernic (héliocentrique), géocentrique, terrestre (galiléens en très bonne approximation sur de courtes durées).

2. Cinématique d'un point

• Vecteur position $\vec{OM}(t)$.
• Vitesse : $\vec{v} = d\vec{OM}/dt$.
• Accélération : $\vec{a} = d\vec{v}/dt = d^2\vec{OM}/dt^2$.

3. Les trois lois de Newton

1ʳᵉ loi (inertie) : si $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$, alors $\vec{v} = \vec{cste}$.

2ᵉ loi (PFD) : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}$.

3ᵉ loi (actions réciproques) : $\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}$.

4. Mouvement dans un champ de pesanteur

Système : projectile de masse $m$. Forces : poids $\vec{P} = m\vec{g}$ (frottements négligés).

PFD : $\vec{a} = \vec{g}$, donc :

$v_x(t) = v_0 \cos\alpha, \quad v_z(t) = -gt + v_0 \sin\alpha$ $x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t, \quad z(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin\alpha \cdot t$

→ trajectoire parabolique.

Portée : $X = v_0^2 \sin(2\alpha)/g$ (maximale pour $\alpha = 45°$).

5. Énergie cinétique et théorème

$E_c = \tfrac{1}{2} m v^2$. Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$.

6. Énergie mécanique

$E_m = E_c + E_p$. Conservation si seules les forces conservatives travaillent.

7. Mouvement circulaire uniforme

• Vitesse de norme constante $v$, accélération centripète : $\vec{a} = \dfrac{v^2}{r} \vec{n}$.
• Force nécessaire : $\vec{F} = -m \dfrac{v^2}{r} \vec{u}$ dirigée vers le centre.

8. Mouvement dans un champ gravitationnel (satellite)

Loi de Newton : $F = G \dfrac{m M}{r^2}$ ; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}$ SI.

Vitesse d'un satellite en orbite circulaire : $v = \sqrt{GM/r}$, période $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} r^3$ (3ᵉ loi de Kepler).

À retenir

• $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
• Projectile : trajectoire parabolique, portée max à 45°.
• $T^2 \propto r^3$ (Kepler 3).