Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

Définition

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ avec $P(B)>0$. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est :

$P_B(A) = P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

On note aussi $P(A\mid B)$.

Formule des probabilités composées

$P(A\cap B) = P(B)\times P_B(A) = P(A)\times P_A(B)$

Généralisation : $P(A_1\cap\cdots\cap A_n) = P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots$

Arbre pondéré

Sur chaque branche partant d'un nœud, la somme des probabilités vaut 1. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches.

Formule des probabilités totales

Si $B_1,\dots,B_n$ forme une partition de $\Omega$ (événements deux à deux disjoints de réunion $\Omega$, chacun de probabilité non nulle) :

$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)\, P_{B_i}(A)$

Formule de Bayes

$P_A(B) = \frac{P_B(A)\, P(B)}{P(A)}$

Application classique : dépistage médical. Test avec sensibilité 99 % ($P_M(T^+)=0{,}99$), spécificité 98 % ($P_{\overline M}(T^-)=0{,}98$), prévalence 1 % ($P(M)=0{,}01$). Alors $P(T^+)=0{,}99\times 0{,}01+0{,}02\times 0{,}99=0{,}0297$ et $P_{T^+}(M)=\dfrac{0{,}99\times 0{,}01}{0{,}0297}\approx 0{,}33$ Un test positif ne signifie que 33 % de risque d'être malade : contre-intuitif mais essentiel à comprendre.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, ce qui équivaut à $P_B(A)=P(A)$ (l'information "$B$ réalisé" ne change pas la probabilité de $A$).

Attention : indépendance $\neq$ incompatibilité. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont dépendants.

Méthode type bac

1. Traduire l'énoncé en événements et compléter un arbre pondéré.
2. Utiliser les probabilités totales pour $P(A)$.
3. Appliquer Bayes pour renverser un conditionnement ($P_B(A)$ à partir de $P_A(B)$).

Points-clés

• $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ (retenir la définition, tout en découle).
• Arbre pondéré + probabilités totales = 90 % des exercices.
• Bayes : renverser le conditionnement.
• Indépendance : test $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.