Loi des grands nombres

En clair. Concentration, inégalité

Ce qu'on te demande au bac (Spé Maths) : maîtriser le vocabulaire de « Loi des grands nombres », savoir refaire les raisonnements du cours et les réutiliser sur un sujet ou un document nouveau.

Conseil de révision. Lis d'abord cet encadré, puis fais le quiz : si tu bloques, reprends la partie du cours correspondante.

Loi des grands nombres

Contexte

On répète $n$ fois, de manière indépendante, une même expérience aléatoire modélisée par une variable $X$ d'espérance $\mu=E(X)$ et d'écart-type $\sigma$. On note $X_1,\dots,X_n$ les résultats et :

$\overline{X_n} = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$

la moyenne empirique (moyenne d'échantillon).

Espérance et variance de la moyenne empirique

$E(\overline{X_n}) = \mu, \qquad V(\overline{X_n}) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(\overline{X_n}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

L'écart-type de la moyenne décroît en $1/\sqrt{n}$ : c'est pour cela que les sondages gagnent en précision avec la taille de l'échantillon, mais lentement.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable $Y$ d'espérance $\mu_Y$ et d'écart-type $\sigma_Y$ :

$P\big(|Y-\mu_Y|\geq \varepsilon\big) \leq \frac{\sigma_Y^2}{\varepsilon^2}$

Appliquée à $\overline{X_n}$ : $P\big(|\overline{X_n}-\mu|\geq\varepsilon\big) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.

Loi (faible) des grands nombres

Pour tout $\varepsilon>0$ :

$\lim_{n\to+\infty} P\big(|\overline{X_n}-\mu|\geq\varepsilon\big) = 0$

Autrement dit, la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance théorique. C'est le fondement mathématique du principe : « répéter beaucoup une expérience fait apparaître la vraie moyenne ».

Cas de la fréquence

Si $X_i\sim\mathcal{B}(1;p)$ (succès/échec), alors $\overline{X_n}$ est la fréquence de succès. La LGN donne :

$\overline{X_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} p$

Exemple. Lancer 10 000 fois une pièce équilibrée : la fréquence de piles est proche de 0,5 avec un écart-type $\dfrac{0{,}5}{\sqrt{10000}}=0{,}005$.

Exemple d'application chiffré

$X$ suit une loi d'espérance $\mu=2$ et d'écart-type $\sigma=3$. Combien de répétitions pour que $P(|\overline{X_n}-2|\geq 0{,}1)\leq 0{,}05$ ?

Bienaymé-Tchebychev : $\dfrac{9}{n\times 0{,}01}\leq 0{,}05 \Rightarrow n\geq 18\,000$.

Points-clés

• Espérance de $\overline{X_n}$ = $\mu$, écart-type = $\sigma/\sqrt{n}$.
• Bienaymé-Tchebychev fournit une majoration (souvent grossière) de la probabilité d'écart.
• LGN : la moyenne empirique se rapproche de l'espérance — pilier des statistiques inférentielles.
• À ne pas confondre avec le théorème central limite (forme de la loi de $\overline{X_n}$, hors programme).