Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace

Repérage cartésien

Un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ permet d'associer à tout point $M$ un triplet $(x;y;z)$. Vecteur $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

Vecteurs colinéaires et coplanaires

• Colinéaires : $\vec{u}=k\vec{v}$ (proportionnalité des coordonnées).
• Coplanaires : trois vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ sont coplanaires ssi il existe $\alpha,\beta$ avec $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ (test : déterminant nul).

Représentations d'une droite

Une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ :

$\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\ z = z_A + t\,c \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}$

C'est la représentation paramétrique.

Représentations d'un plan

• Paramétrique : $M=A+t\vec{u}+s\vec{v}$ ($\vec{u},\vec{v}$ non colinéaires).
• Cartésienne : $ax+by+cz+d=0$, avec $\vec{n}(a;b;c)$ vecteur normal.

Positions relatives

Deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

• Coplanaires + $\vec{u}\parallel\vec{v}$ : parallèles (confondues ou strictement parallèles).
• Coplanaires + non parallèles : sécantes en un point.
• Non coplanaires : non coplanaires (n'ont ni intersection ni parallélisme).

Droite et plan :

• $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ et un point commun : droite incluse. Sinon : parallèles strictes.
• $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$ : sécants en un point (injecter la paramétrisation dans l'équation).

Deux plans : parallèles si vecteurs normaux colinéaires ; sinon sécants selon une droite.

Orthogonalité

• Deux droites orthogonales : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
• Droite orthogonale à un plan : $\vec{u}$ colinéaire au normal $\vec{n}$.
• Deux plans perpendiculaires : $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.

Distance et projections

• Distance point-plan : $d(M_0,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
• Projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan : utiliser le produit scalaire pour caractériser $H$ (point du plan/droite tel que $\overrightarrow{M_0H}\perp\text{plan ou droite}$).

Méthode type bac

1. Écrire une paramétrique pour les droites, une cartésienne pour les plans.
2. Étudier la position relative via colinéarité et orthogonalité.
3. Résoudre les intersections en substituant.
4. Calculer distances et angles avec le produit scalaire.

Points-clés

• Droite = point + vecteur directeur (paramétrique).
• Plan = point + vecteur normal (cartésienne) ou 2 vecteurs directeurs.
• L'outil universel = produit scalaire.
• Non coplanaires $\neq$ parallèles : cas fréquent, à ne pas oublier.