Équations différentielles

Équations différentielles

Vocabulaire

Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ à ses dérivées. En Terminale, on étudie les équations linéaires du 1er ordre à coefficients constants :

$y' = ay + b \quad (a,b\in\mathbb{R})$

Une solution est une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x$.

Résolution de $y' = ay$

Les solutions sont exactement les fonctions :

$y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}, \quad C\in\mathbb{R}$

Le paramètre $C$ est déterminé par une condition initiale $y(x_0)=y_0$ : $C = y_0\,\mathrm{e}^{-ax_0}$.

Résolution de $y' = ay + b$ ($a\neq 0$)

1. Solution particulière constante : chercher $y_p$ tel que $0=ay_p+b$, d'où $y_p=-b/a$.
2. Solution générale = solution particulière + solutions de l'équation homogène :

$y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C\in\mathbb{R}$

Exemple. $y'=2y+6$. Alors $y_p=-3$ et $y(x)=C\mathrm{e}^{2x}-3$. Si $y(0)=1$ : $C-3=1 \Rightarrow C=4$, donc $y(x)=4\mathrm{e}^{2x}-3$.

Modélisations classiques

• Croissance/décroissance exponentielle : population, radioactivité, charge d'un condensateur. Décroissance radioactive : $N'(t)=-\lambda N(t) \Rightarrow N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}$. Demi-vie : $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
• Refroidissement (loi de Newton) : $T'(t)=-k(T-T_{\text{ext}}) \Rightarrow T(t)=T_{\text{ext}}+(T_0-T_{\text{ext}})\mathrm{e}^{-kt}$.
• Circuit RC en charge : $u'+\dfrac{1}{RC}u=\dfrac{E}{RC}$, solution $u(t)=E(1-\mathrm{e}^{-t/(RC)})$.

Interprétation graphique

Les solutions $y(x)=C\mathrm{e}^{ax}+y_p$ forment une famille de courbes qui ne se croisent jamais. Par un point donné passe exactement une solution : c'est le théorème de Cauchy-Lipschitz (implicite au programme).

Méthode type bac

1. Identifier $a$ et $b$.
2. Trouver la solution particulière $-b/a$ (si $a\neq 0$).
3. Écrire la solution générale $C\mathrm{e}^{ax}-b/a$.
4. Utiliser la condition initiale pour déterminer $C$.
5. Étudier la limite en $\pm\infty$ selon le signe de $a$.

Points-clés

• $y'=ay \Rightarrow y=C\mathrm{e}^{ax}$.
• $y'=ay+b \Rightarrow y=C\mathrm{e}^{ax}-b/a$.
• La condition initiale fixe $C$.
• Comportement asymptotique : dépend du signe de $a$.